Regla de la cadena de la geometría riemanniana

Question

Supongamos que $M$ es una variedad riemanniana y $s:M\to M$ , $f:M\to \mathbb{R}$ dos mapas suaves dados.

¿Existe una forma de calcular $\nabla(f\circ s)$ ?

donde $\nabla$ es el gradiente. Estoy buscando algo parecido a la regla de la cadena habitual en $\mathbb{R}^n$ .

En particular, estoy tratando de resolver $\nabla(f\circ s)$ donde $f$ es cualquier función suave, y $s(x)=\exp_x(\nabla \phi(x))$ para un potencial $\phi:M\to\mathbb{R}$ .

Answer 1

Utilicemos la definición de gradiente como el campo vectorial equivalente al diferencial: dado $x \in M$ y $v \in T_xM$ tenemos $$g_x(\nabla(f\circ s)(x),v) = {\rm d}(f\circ s)_x(v) = {\rm d}f_{s(x)}({\rm d}s_x(v)) = g_{s(x)}(\nabla f(s(x)), {\rm d}s_x(v)) = g_x(({\rm d}s_x)^\top \nabla f(s(x)), v),$$ para que $$\nabla(f\circ s)(x) = ({\rm d}s_x)^\top \big(\nabla f(s(x))\big),$$ donde $({\rm d}s_x)^\top \colon T_{s(x)}M \to T_xM$ es el mapa adjunto de ${\rm d}s_x\colon T_xM \to T_{s(x)}M$ caracterizado por la relación $$g_{s(x)}({\rm d}s_x(v), w) = g_x(v,({\rm d}s_x)^\top(w)), \qquad \forall\,v \in T_xM, \quad \forall\,w \in T_{s(x)}M.$$