Base del subespacio de la suma

Question

Dejemos que $W$ sea un espacio vectorial y $U, V$ dos subespacios con bases ${u_1,...,u_n}$ y ${v_1, ..., v_s}$ respectivamente. ¿Cómo puedo demostrar rigurosamente que la base de $U+V$ es ${u_1, ..., u_n, v_1,...,v_s}$ ?

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Mi trabajo:

Primero tengo que demostrar que $U+V \subset <{u_1, ..., u_n, v_1,...,v_s}>$ . Es decir, $h=u+v \implies h = (au_1+ ... + au_n)+ (bv_1 + ... +bv_s) = au_1+ ... + au_n+ bv_1 + ... +bv_s$ . Así que $h \in U+V \implies h \in <{u_1, ..., u_n, v_1,...,v_s}>$ .

En segundo lugar tengo que demostrar que $<{u_1, ..., u_n, v_1,...,v_s}> \subset U+V$ . Es decir, $h \in <{u_1, ..., u_n, v_1,...,v_s}> \implies h = au_1+ ... + au_n+ bv_1 + ... +bv_s = (au_1+ ... + au_n)+ (bv_1 + ... +bv_s) = u + v$ para algunos $u \in U$ y $v \in V$ .

¿Es esto suficiente o debo demostrar primero que <{u_1, ..., u_n, v_1,...,v_s}> son linealmente independientes? Si es así, ¿cómo debo hacerlo?

Answer 1

Esto es cierto si y sólo si $V + W = V\oplus W$ . De lo contrario, la unión de las bases es un conjunto de extensión; debe ser "escardado" para obtener una base real.

Answer 2

No es cierto que $u_1,\ldots ,u_n,v_1,\ldots ,v_s$ en general será una base. Será span $U+V$ pero no será necesariamente un conjunto linealmente independiente. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ , toma $U$ para ser el espacio abarcado por $u_1:=(1,0)$ y $V$ para ser el espacio abarcado por $v_1:=(0,1),v_2:=(1,1)$ (para que $V=\mathbb{R}^2$ ). Entonces, $U+V=\mathbb{R}^2$ pero $(1,0),(0,1),(1,1)$ no es una base (la suma de la primera y la segunda es la tercera, y por tanto no son linealmente independientes).

Sin embargo, podemos demostrar que se extiende. Como $\{ u_1,\ldots ,u_n,v_1,\ldots ,v_s\} \subseteq U+V$ tenemos inmediatamente que $\mathrm{Span}\, \{ u_1,\ldots ,u_n,v_1,\ldots ,v_s\} \subseteq \mathrm{Span}\, (U+V)=U+V$ .

Para la otra dirección, dejemos $w=u+v\in U+V$ sea arbitraria con $u\in U$ y $v\in V$ . Puede escribir $u$ como una combinación lineal de $u_1,\ldots ,u_n$ y puedes escribir $v$ como una combinación lineal de $v_1,\ldots ,v_s$ para que $w$ es una combinación lineal de $u_1,\ldots ,u_n,v_1,\ldots ,v_s$ es decir $w\in \mathrm{Span}\, \{ u_1,\ldots ,u_n,v_1,\ldots ,v_s\}$ .