En realidad se trata de un problema de álgebra lineal, pero este texto está tomado de Guillemin y Pollack, Topología diferencial en la página 100.
Problema real : Dejemos que $f: X \to Y$ ser suave, $S = f^{-1}(Z)$ donde $T_x(S) = (df)^{-1}(T_z(Z))$ , $f(x) = z$ y $N(S;X)$ es el complemento ortogonal de $T_x(S)$ . Entonces, como $T_x(S)$ contiene todo el núcleo de $df_x$ , $df_x$ mapas $N(S;X)$ isomórficamente en $df N(S;X)$ .
Si alguien está confundido en cuanto a por qué $T_x(S)$ contiene el núcleo completo, es porque $f^{-1}(z) \subset f^{-1}(Z)$ y se ha demostrado previamente que $\ker df = T_x(f^{-1}(z))$ . También es una nota al margen, ¿el espacio tangente viene equipado con un producto interno? ¿Cómo se habla de complementos ortogonales sin él?
Lo que dice este problema en álgebra lineal : Nosotros mapa lineal $g: V \to W$ donde $V = S \oplus S^{\perp}$ . $\ker g \subset S $ entonces $g : S^{\perp} \to g(S^\perp)$ isomórficamente.
No puedo precisar por qué $g|_{S^{\perp}}$ es un isomorfismo. ¿Es porque $\ker g|_{S^{\perp}} = 0$ ya que todo el núcleo está contenido en $S$ pero $S \cap S^{\perp} = \{0\}?$
Siento que este post haya aparecido más largo de lo que debería.
