Sobre la independencia lineal de las exponenciales

Question

El problema.

Dejemos que $\{\lambda_n\}_{n\in\mathbb N}$ sea una secuencia de números complejos . Llamemos a una familia de funciones exponenciales $\{\exp (\lambda_n s)\}_{n\in\mathbb N}$ $F$ -independiente (donde $F$ es $\mathbb C$ o $\mathbb R$ ) si siempre que la serie con coeficientes complejos

$$f(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n e^{\lambda_n s},\qquad s\in F,$$ converge a $f(s)\equiv 0$ uniformemente en cada subconjunto compacto de $F$ tenemos que $a_n=0$ para todos $n\in\mathbb N$ .

Pregunta. Supongamos que una secuencia $\{\exp (\lambda_n s)\}_{n\in\mathbb N}$ es $\mathbb C$ -independiente. ¿Es $\mathbb R$ -¿Independiente?

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Antecedentes y motivación.

Un caso especialmente interesante para las aplicaciones es cuando $|\lambda_n|\sim n$ . A.F. Leont'ev (cuyo trabajo se mencionó en un Pregunta de MO ) demostró que si $n=O(|\lambda_n|)$ entonces la correspondiente familia de exponenciales es $\mathbb C$ -independiente (véase también esta nota ). Es relativamente fácil construir una secuencia de exponenciales que no sea $\mathbb C$ -independiente (ver, por ejemplo, aquí ).

La cuestión está relacionada con el problema de la unicidad de las soluciones de la llamada ecuación de la gravedad $$f(x+h)-f(x-h)=2h f'(x),\qquad x\in \mathbb R,$$ donde $h>0$ es fijo. La ecuación aparece en el estudio de las fuerzas centrales con simetría radial (la larga historia de la ecuación de la gravedad y algunos resultados conocidos se presentan en este artículo de S. Stein).

Titchmarsh demostró que una solución arbitraria de la ecuación de la gravedad tiene la forma $$f(x)=Ax^2+Bx+c+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n e^{\lambda_n x},\qquad x\in \mathbb R,$$ donde $a_n\in\mathbb C$ , $n\in \mathbb N$ y $\lambda_n$ son las soluciones de la ecuación $\sinh hz=hz$ . Gracias al resultado de Leont'ev, la secuencia $\{\exp (\lambda_n s)\}_{n\in\mathbb N}$ es $\mathbb C$ -independiente. Si la respuesta a la pregunta anterior es positiva, entonces toda función suficientemente suave que satisfaga la ecuación de la gravedad con dos $h_1$ y $h_2$ es un polinomio cuadrático.

Answer 1

Tengo algunas respuestas parciales.

I. No es difícil construir una serie de Dirichlet $$f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_ne^{\lambda_n z}$$ que converge a $0$ de forma absoluta y uniforme en la recta real pero no converge en algunos puntos del plano complejo. Se construye como una suma de 3 series $f=f_0+f_1+f_2.$ Dejemos que $f_1$ sea una serie con imaginario exponentes $\lambda_n$ que converge a una función entera en el semiplano inferior cerrado, pero no en todo el plano. Tal serie no es difícil de construir, véase V. Bernstein, página 34, (véase la referencia completa más abajo) y hay ejemplos más sencillos, con series ordinarias de Dirichlet. Entonces pongamos $f_2=\overline{f_1(\overline{z})}$ , y $f_0=-f_1-f_2$ . Así que las tres funciones están completas. Ahora, según Leontiev, TODA función entera puede ser representada por una serie de Dirichlet que converge en el plano entero. Así tenemos una serie de Dirichlet $f_0+f_1+f_2$ que converge en la recta real a $0$ pero no converge en el plano.

Un contraejemplo a la pregunta original también requiere coeficientes reales, esto no lo sé cómo hacerlo (para $f_0$ ).

II. De los trabajos de Leontiev se desprende que para obtener una teoría razonable hay que limitarse a exponentes de densidad superior densidad superior, $n=O(|\lambda_n|)$ de lo contrario no hay unicidad en $C$ . En el resultado que he citado arriba, la expansión de $f_0$ no es único.

Suponiendo una densidad superior finita demostré que si una serie es ABSOLUTA y uniformemente convergente en la recta real a cero, entonces todos los coeficientes deben ser cero. http://www.math.purdue.edu/~eremenko/dvi/exp2.pdf No sé cómo deshacerse de la suposición de convergencia absoluta.

Pero hay un argumento filosófico a favor de la convergencia absoluta: la noción de "dependencia lineal dependencia" no debería depender del orden de los vectores:-)

III. El resultado más satisfactorio, en mi opinión, es el de Schwartz. Digamos que las exponenciales son S-linealmente independientes si ninguna de ellas pertenece al cierre de lineal del resto. Topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos de la recta real. Schwartz dio una condición necesaria y suficiente para ello: los puntos $i\lambda_k$ debe estar contenido en el conjunto cero de la transformada de Fourier de una medida con soporte acotado en R.

(L. Schwartz, The general theory of mean-period functions, Ann. Math. 48 (1947) 867-929).

No se conoce una caracterización explícita completa de tales conjuntos, pero tienen una densidad superior finita, y se conocen muchas de sus propiedades. Estas transformadas de Fourier son funciones enteras de de tipo exponencial acotadas en la recta real. El enlace que he dado más arriba contiene la prueba de Schwartz en inglés. La dependencia lineal de S tampoco es sensible al ordenamiento de las funciones, lo cual es bueno.

IV. El libro de Vladimir Bernstein es "Lecons sur les progress recent de la theorie des series de Dirichlet", París 1933. Es el libro más completo sobre las series de Dirichlet, pero desgraciadamente sólo con exponentes reales.

V. La aplicación a la ecuación funcional mencionada por el autor del problema no es una buena justificación para el estudio del problema en tal generalidad. El conjunto de exponenciales allí es muy simple, y ciertamente tenemos $R$ -independencia lineal para TAL conjunto de exponenciales. Además de el teorema enunciado como aplicación se ha demostrado de forma elemental.

VI. Por último, recomiendo cambiar la definición de $R$ -independencia lineal al permitir que el complejo coeficientes complejos (pero la igualdad a $0$ en la línea real). De nuevo en la aplicación mencionada en el problema original, ESTA noción de $R$ -es necesario: la función es real, pero los exponenciales no son reales, por lo que los coeficientes no deben ser reales.

Answer 2

EDIT: En realidad, lo que sigue supone una convergencia absoluta uniforme en las regiones compactas y, por tanto, aborda un problema ligeramente diferente, como señala Zen Harper en los comentarios.

Esta es una observación que es demasiado grande para que quepa en los comentarios. Afirmo que si existe $M>0$ tal que para todo $n$ , $|\Im \lambda_n| < M$ entonces la respuesta es sí ( $\mathbb{R}$ -la independencia implica $\mathbb{C}$ -independencia). En este caso es fácil ver que la convergencia uniforme en intervalos compactos de $\mathbb{R}$ implica una convergencia uniforme en regiones compactas de $\mathbb{C}$ .

Para ver esto, escriba $\lambda_n=x_n+y_ni$ donde $x_n, y_n$ son reales; escribe $s=c+di$ . Entonces $$\sum |a_ie^{\lambda_i s}|=\sum |a_i|e^{x_nc-y_nd}$$ que puede compararse con $$\sum |a_i| e^{x_n c}.$$

Pero entonces la convergencia uniforme en regiones compactas de $\mathbb{C}$ implica que la función límite $f$ es holomorfa y desaparece idénticamente en $\mathbb{R}$ Así que $f$ debe ser idéntico a cero. Pero entonces aplicando $\mathbb{C}$ -independencia, tenemos que todos los $a_i=0$ .

Esto apunta en la dirección de un contraejemplo cuando el $y_i$ son ilimitadas---si dejamos que el $|y_i|$ tienden a $\infty$ rápidamente este argumento falla dramáticamente.

Answer 3

Todavía estoy pensando en la interesante pregunta.

No es una respuesta pero demasiado grande para un comentario.

Para mostrar lo que quise decir en mi comentario a la respuesta de Daniel Litt sobre la diferencia entre uniforme absoluto convergencia y convergencia uniforme ordinaria:

I piense en (pero fue hace un tiempo cuando lo pensé) que existe $u_0, u_1, \ldots$ tal que $\sum_{n=0}^\infty u_n z^n$ converge uniformemente en el conjunto $\{ z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1 \}$ pero no de manera uniforme y absoluta.

Así, $\sum_{n=0}^\infty |u_n| = +\infty$ pero también $$ \forall \, \epsilon>0, \quad \exists \, N(\epsilon)>0 \quad \text{such that}: \quad \forall \, |z| \leq 1, \quad \forall \, m \geq n > N(\epsilon), \quad \left| \sum_{k=n}^{m} u_k z^k \right| < \epsilon. $$ Esta función $f(z) = \sum_{n=0}^\infty u_n z^n$ satisface $$ f \in A(D) \setminus W_+(D), $$ que muestra en particular que el álgebra de disco $A(D)$ que consiste en funciones continuas en el disco unitario cerrado y analíticas en el disco unitario abierto, es estrictamente mayor que el Álgebra de Wiener $W_+(D)$ de series de potencias absolutamente convergentes en el disco unitario cerrado.

Así que el problema va a ser bastante difícil porque no podemos usar absoluto convergencia (a menos que esté siendo estúpido o haya un truco inteligente que explote la estructura especial de las funciones exponenciales).

La "solución" más fácil es simplemente ignorarla (es decir suponga que convergencia absoluta). Esto da lugar a una pregunta ligeramente diferente, pero igualmente interesante.