¿Método más corto para encontrar el ortocentro de este triángulo?

Question

Los vértices dados son (0,0) (5,-1) (-2,3).

Mi enfoque::

He asumido el ortocentro del triángulo como (a,b). Ahora bien, utilicé el hecho de que la línea que pasa por cada vértice y ortocentro es perpendicular al lado opuesto.

Así que,

m (AH).m (BC) = -1

m (BH).m (AC) = -1

A partir de esto, obtuve dos ecuaciones y las resolví para obtener el ortocentro.

Sin embargo, ESTE MÉTODO ES MUY LARGO. ¿Puede alguien sugerirme un método más fácil o más corto para encontrarlo?

Gracias.

Answer 1

No creo que haya una forma mucho mejor de hacerlo. Un caso particular, que es muy conveniente, es cuando el origen se encuentra en el circuncentro, en ese caso debido a la Línea de Euler obtenemos:

$$\text{orthocenter}=A'+B'+C'$$

Pero, para utilizar ese resultado hay que hacer una traslación para llevar el origen al circuncentro y utilizar esa traslación para encontrar el nuevo vértice $A',B',C'$ .

Answer 2

El ortocentro del triángulo $ABC$ es el circuncentro de $A'B'C'$ , donde $$ A'=B+C-A,\quad B'=A+C-B,\quad C'=A+B-C, $$ son las reflexiones de cada vértice a través del punto medio del lado opuesto.

A continuación, puede insertar las coordenadas de $A'$ , $B'$ , $C'$ en la ecuación circular genérica $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ para obtener un sistema lineal en tres incógnitas $a$ , $b$ , $c$ : resuélvelo para obtener el circuncentro $(a,b)$ .

EJEMPLO.

Empezando por los vértices $A=(0,0)$ , $B=(5,-1)$ , $C=(-2,3)$ nos encontramos con que: $A'=(3,2)$ , $B'=(-7,4)$ , $C'=(7,-4)$ y el sistema $$ \cases{ 13-6a-4b+c=0\\ 65+14a-8b+c=0\\ 65-14a+8b+c=0 }. $$ Esto se puede resolver fácilmente para obtener $a=-4$ y $b=-7$ .

Answer 3

Para añadir a @ Arnaldo El método de la Sra. G., podemos hallar el circuncentro suponiendo que la circunferencia es: $$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$$ Como los tres puntos se encuentran en esta circunferencia, obtenemos tres ecuaciones. Pero, cada ecuación tiene un $c$ en ella, así que restando una ecuación a cada una de las otras dos, obtenemos dos ecuaciones, resolviendo las cuales obtenemos $g$ y $f$ . Entonces, el circuncentro viene dado por: $$C \equiv (-g,-f) $$ Después de trasladar el origen, sólo hay que encontrar el ortocentro utilizando la fórmula de Arnaldo y luego trasladarlo de nuevo al sistema de coordenadas original.

Para ser sinceros, este método sólo es útil si se desea obtener ambos, el ortocentro y el circuncentro. De lo contrario, su propio método es la mejor opción.

Me gustaría comentar que tanto el ortocentro como el circuncentro requieren resolver dos ecuaciones simultáneas, siendo el ortocentro más fácil de encontrar así. Así que en realidad sería mejor encontrar primero el ortocentro y luego usar la Línea de Euler de la propiedad.

Answer 4

Utilizar fórmulas con determinantes $$ D=\text{Det}\begin{pmatrix} 0 &0 &0\\ 5 &-1 &1\\ -2 &3 &1\end{pmatrix}\\ D=13\\ xH=\frac{1}{D}.\left[\text{Det}\begin{pmatrix} 0 &0.0 &1\\ 5 &5.(-1) &1\\-2&-2.3&1\end{pmatrix}+\text{Det}\begin{pmatrix}0&0^2&1\\-1&(-1)^2&1\\3 &3^2 &1\end{pmatrix}\right]=-4\\ yH=-\frac{1}{D}.\left[\text{Det}\begin{pmatrix}0 &0.0&1\\-1&5.(-1)&1\\3&-2.3&1\end{pmatrix}+\text{Det}\begin{pmatrix}0&0^2&1\\5&5^2&1\\-2&(-2)^2&1\end{pmatrix}\right]=-7\\ H=(-4,-7)$$