Quiero estudiar la convergencia de la integral $\int_0^\infty \frac{1}{1+x^4\cos^2x}dx$ No estoy seguro de si es convergente o divergente. $\frac{1}{1+x^4\cos^2x}\geq \frac{1}{1+x^4}$ para todos $x\in (0,\infty)$ Pero eso no da un límite para la prueba de comparación. Así que, ¿puede alguien darme alguna pista para resolver este problema?
Respuesta
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Como el integrando es siempre positivo, podemos escribir $$\int_{0}^{\infty}\dfrac{dx}{1+x^4\cos^2 x} = \sum_{n = 0}^{\infty}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dx}{1+x^4\cos^2 x}.$$ La integral original converge si cada una de las integrales del lado derecho converge y la suma converge. Ahora, apliquemos la cota $$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dx}{1+x^4\cos^2 x} \le \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dx}{1+(n\pi)^4\cos^2 x},$$ a cada uno de los términos y vea lo que obtiene.
