tl;dr Un enfoque ligeramente antropomórfico con cierta base en la química orgánica general:
Paso 1: La protonación del carbonilo (Una reacción ácido-base)
Aquí, tenemos tres opciones - podemos protonar el nitrógeno (desactivado por la resonancia con el oxígeno), el grupo alcohol ( $\mathrm{sp^3}$ ) o el grupo carbonilo ( $\mathrm{sp^2}$ ). Como se puede ver esto es básicamente una reacción ácido-base y por lo tanto la base más fuerte (que tiene la mayor densidad de electrones) reaccionaría más rápido y esto significa que como el carbonilo tiene la mayor densidad de electrones aquí el carbonilo es protonado.
Paso 2: El ataque intermolecular ( $\ce{O}$ es muy sigiloso)
Bueno, empezamos con $\ce{HCl}$ . Es la hora de la $\ce{Cl-}$ para hacer su aparición? No realmente . Como puedes ver, tenemos un grupo alcohol en el compuesto que tiene electrones que donar. El carbono del grupo carbonilo (protonado) es altamente electropositivo (ya era positivo cuando no había carga positiva en el oxígeno y ahora se ha vuelto más electropositivo). Ahora, el oxígeno con el par solitario hace su aparición. Ataca al carbono carbonilo y al mismo tiempo los electrones π se mueven al oxígeno previamente protonado haciéndolo neutro.
Paso 3: Una transferencia intermolecular de protones (¿Otra reacción ácido-base?)
Ahora bien, como habrán aprendido, el oxígeno no es el elemento más electropositivo. Si es posible, no se mantiene positivo. Nitrógeno viene al rescate. Se produce otra reacción ácido-base en la que el nuevo grupo amino activo desprotoniza el oxígeno formando $\ce{>NH2+}$ .
Paso 4: La reordenación final (Ya hemos terminado aquí(?), ya te lo puedes imaginar)
Todavía necesitamos el isómero final y también tenemos que eliminar las cargas positivas del compuesto antes de terminar. Por lo tanto, el anillo se rompe y los electrones se mueven hacia el nitrógeno eliminando la carga positiva en él. Esto también significa que se forma un carbocatión en el carbono donde está unido el grupo alcohólico que lo estabiliza utilizando la resonancia para formar un $\ce{C=OH+}$ fianza. (intente dibujar este paso).
Pero no hemos terminado.
Paso 5: El verdadero paso final (Una pequeña desprotonación)
Nadie necesita oxígenos positivos, ¿verdad? Por lo tanto, el oxígeno está desprotonado. (Nota: esto está en equilibrio ya que el medio es ácido) . Todo $\ce{H+}$ utilizado ha sido liberado, lo que también hace que esta sea una reacción catalítica.
Puede que haya una última pregunta en el fondo de tu mente (para los curiosos).
¿Por qué no volver al recinto inicial?
Esto se debe a que como muy bien señaló @user55119 en un comentario a la otra respuesta. Mis adiciones en cursiva .
En ausencia de ácido, el calentamiento del aminoéster (a) daría el material de partida, la hidroxiamida porque los ésteres son más lábiles (se descompone o desplaza fácilmente) que las amidas. La razón por la que puede producirse esta reacción es que el grupo amino está protonado en el ácido, lo que desplaza el equilibrio.
Bienvenido a los dominios de la química orgánica.