Simplificar $\sqrt {\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}}$.

Question

Denest $\sqrt {\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}}$.

He tratado de completar cuadrados por varias método, pero todos fallaron. Alguien me puede ayudar por favor? Gracias.

p.s. Soy un pobre pregunta-tagger.

Answer 1

Este ejemplo se discute en uno de mis anteriores posts, basado en un polinomio de tiempo de almacenaje algoritmo de Blomer. Utilizando el estándar de la teoría de Galois de radical (Kummer) extensiones, no es difícil probar que una Estructura de Almacenaje Teorema, lo que implica que si un radical $\rm\; r^{1/d} \;$ denests en cualquier radical extensión de $\rm\, F'$ de su base de campo $\rm\, F$, luego de un adecuado múltiples $\rm\; q b\: r \;$ de el radicando $\rm\; r \;$ ya debe denest en el campo de $\rm\; F' \;$ definido por la radicando. Más precisamente

El almacenaje de la Estructura Teorema Real de los Campos de $\;\; \;$ Deje $\rm\; F \;$ ser un verdadero campo y $\rm\; F' = F(q_1^{1/d1},\ldots,q_k^{1/dk}) \;$ ser un verdadero radical extensión de $\rm\; F \;$ de grado $\rm\; n \;$. Por $\rm\; B = \{b_0,\ldots, b_{n-1}\}$ el valor del estándar base de $\rm\; F' \;$$\rm\; F \;$. Si $\rm\; r \;$ $\rm\; F' \;$ $\rm\; d \;$ es un entero positivo tal que $\rm\; r^{1/d} \;$ denests $\rm\; F \;$ real radicales, es decir, $\rm\; r^{1/d} \in F(a_1^{1/t_1},\ldots,a_m^{1/t_m}) \;$ para enteros positivos $\rm\; t_i \;$ positiva y $\rm\; a_i \in F,\:$ entonces existe un valor distinto de cero $\rm\; q \in F \;$ $\rm\; b \in B \;$ $\rm\; (q b r)^{1/d} \in F'.$

Esto implica que al multiplicar el radicando por un $\rm\; q \;$ en el campo base $\rm\; F \;$ y un poder de producto $\rm\; b \;=\; q_1^{e_1/d_1}\cdots q_k^{e_k/d_k} \;$ podemos normalizar cualquier almacenaje de modo que denests en el campo definido por el radicando (a continuación, el almacenaje se reduce a la solución de coeficientes indeterminados). Por ejemplo

$$ \sqrt{\sqrt[3]5 - \sqrt[3]4} \;\;=\; \frac{1}3 (\sqrt[3]2 + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{25})$$ normaliza a $$ \sqrt{18\ (\sqrt[3]10 - 2)} \;\;=\; 2 + 2\ \sqrt[3]{10} - \sqrt[3]{10}^2 $$

Un ejemplo trivial $\rm\:b$

$$ \sqrt{12 + 5\ \sqrt 6} \;\;=\; (\sqrt 2 + \sqrt 3)\ 6^{1/4} $$

normaliza a

$$ \sqrt{\frac{1}3 \sqrt{6}\: (12 + 5\ \sqrt 6)} \;\;=\; 2 + \sqrt{6} $$

Aquí $\rm\; F=\mathbb Q,\ F' = \mathbb Q(\sqrt 6),\ n=2,\ B = \{1,\sqrt 6\},\ d=2,\ q=1/3,\ b= \sqrt 6\:$.

La estructura teorema también es válida para los complejos campos excepto que en este caso uno tiene que asumir que $\rm\; F \;$ contiene suficiente raíces de la unidad (que puede ser computacionalmente caro en la práctica, a ingenio doblemente exponencial de la complejidad).

Answer 2

Ver Johannes Blomer, Cómo denest Ramanujan anidada de los radicales, disponible aquí.

Answer 3

Voy a dar una pista. Buscar el almacenaje que se parece a esto : $$ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c})^2 = 9(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}) $$