Demostración de las propiedades de una función al repetir la iteración

Question

Para un $n$ -tupla $S$ de enteros positivos decrecientes, podemos definir $f(S)$ como restar $1$ de cada elemento de $S$ , añadiendo $n$ y, a continuación, eliminar $0$ y reordenando en orden decreciente si es necesario. Por ejemplo, $f((4,2,1))=(3,3,1)$ .

He demostrado que la iteración repetida de esta función siempre termina en un ciclo, al notar que $f$ , $f(f(x))$ etc. es una secuencia finita. Ahora, ¿cómo puedo demostrar que cada tupla con la misma suma irá finalmente al mismo ciclo? He comprobado que esto es cierto con Mathematica.

EDIT: Busco probar o refutar esta afirmación. Lo he comprobado en muchos casos, pero puede que no sea cierto. Esto no fue dado como una tarea, así que no tengo idea de si es cierto.

Answer 1

Dejemos que $S$ sea su inicial $n$ -pareja de enteros decrecientes. Si $N := \sum_{x\in S} x$ , tenga en cuenta que $S$ describe una partición de $N$ (cualquier partición de un entero positivo puede escribirse de forma única como una secuencia de números débilmente decreciente). Además, $f$ se define de forma que $f(S)$ también es una partición de $N$ . Dado que sólo hay un número finito de particiones de un número entero positivo dado, la secuencia $\{f^{k}(S)\}$ debe repetirse eventualmente.

Editar: Sin embargo, la afirmación de que sólo hay un ciclo para cada $N$ es falso . Por ejemplo, observe que cuando $N = 17$ las particiones $(6,5,3,2,1)$ y $(6,4,4,2,1)$ están contenidos en ciclos disjuntos bajo la acción de $f$ .