¿Es la inyectividad del operador equivalente a la subjetividad de su adjunto

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos espacios lineales normados. Sea $T:X \to Y^*$ sea un operador lineal (no necesariamente continuo) y que $T^*$ sea su adjunto, es decir $T^*:Y \to X^*$ se define por

$\langle T^*y,x \rangle := \langle Tx,y \rangle ,$

donde $\langle \cdot , \cdot \rangle$ es un emparejamiento de dualidad adecuado (es decir, entre $X^*$ y $X$ en el lado izquierdo y entre $Y^*$ y $Y$ a la derecha). Sea $R(T)$ denotan el rango de $T$ . ¿Es cierto que:

$T$ es inyectiva en $R(T)$ si y sólo si $T^*$ es suryente hacia $X^*$ ?

Answer 1

La equivalencia total no se cumple en general. Más bien se cumple: $T$ es inyectiva si y sólo si $R(T^*)$ es de densidad estelar débil en $X^*$ .

Si $T^*$ es suryente, entonces $T$ es inyectiva: Supongamos que $Tx=0$ entonces $$0 = \langle Tx,y\rangle_{Y^*,Y} = \langle T^*y,x\rangle_{X^*,X},$$ y como $R(T^*)=X^*$ se deduce que $0= \langle x^*,x\rangle_{X^*,X}$ para todos $x^*\in X^*$ . Por lo tanto, $x=0$ .

En este caso, habría bastado con suponer que $R(T^*)$ es denso en $X^*$ .

Ahora, dejemos que $T$ sea inyectiva, supongamos que $R(T^*)$ no es denso en estrella débil en $X^*$ . Luego está $x^*\in X^* \setminus \overline{R(T^*)}^{w^*}$ donde el cierre se toma con respecto a la topología de estrella débil. Por el teorema de separación de Hahn-Banach, existe $x\in X$ , $t\in\mathbb R$ , de tal manera que $$\langle x^*,x\rangle_{X^*,X} < t \le \langle T^*y,x\rangle_{X^*,X} \quad \forall y\in Y.$$ Desde $T^*$ es lineal, se deduce que $\langle T^*y,x\rangle_{X^*,X}=0$ para todos $y\in Y$ lo que equivale a $\langle Tx,y\rangle_{Y^*,Y}=0$ para todos $y$ . Por lo tanto, $Tx=0$ y por inyectividad $x=0$ se sigue, lo cual es una contradicción.

Como contraejemplo, que muestra que la inyectividad de $T$ no implica la subjetividad de $T^*$ se puede elegir cualquier compacta e inyectiva $T$ con $X,Y$ siendo de dimensión infinita. Entonces $T^*$ también es compacto, pero $R(T^*)$ no se puede cerrar.