$f:[0,1] \to [0,1]$ sea una biyección continua , $g \in C[0,1]$ y tal que $\int_0^1g(x)(f(x))^{6n}dx=0, \forall n\ge 0$ entonces $g=0$ ?

Question

Dejemos que $f:[0,1] \to [0,1]$ sea una biyección continua , $g:[0,1] \to \mathbb R$ sea continua, de manera que

$\int_0^1g(x)(f(x))^{6n}dx=0, \forall n\ge 0$ Entonces, ¿es cierto que $g(x)=0,\forall x \in [0,1]$ ?

Había hecho un problema en el que la condición era $\int_0^1g(x)x^ndx=0$ pero ahí la prueba funcionó porque por el teorema de aproximación de Weierstrass, el tramo de $\{1,x,x^2....\}$ es denso en $C[0,1]$ Para este problema no tengo ni idea. Por favor, ayuda. Gracias de antemano

Answer 1

Sustituir $f^6$ con $h$ y luego considerar la subálgebra de $C[0,1]$ generado por $h$ . Esto separa los puntos, por lo tanto es denso por Stone-Weierstrass. Ahora proceda como de costumbre.