Encuentre los dos últimos dígitos de $33^{100}$

Question

Encuentra los dos últimos dígitos de $33^{100}$

Por el teorema de Euler, dado que $\gcd(33, 100)=1$, entonces $33^{\phi(100)}\equiv 1 \pmod{100}$. Pero $\phi(100)=\phi(5^2\times2^2)=40.

Entonces $33^{40}\equiv 1 \pmod{100}$ ¿Entonces cómo proceder?

Con la sugerencia de @Lucian:

$33^2\equiv-11 \pmod{100}$ entonces $33^{100}\equiv(-11)^{50}\pmod{100}\equiv (10+1)^{50}\pmod{100}

Al usar la expansión binomial, tenemos: $33^{100}\equiv (10^{50}+50\cdot 10^{49}+ \cdots + 50\cdot 10+1)\pmod{100}$ $\implies 33^{100}\equiv (50\cdot 10+1)\pmod{100}\equiv 01 \pmod{100}$

Answer 1

Puedes usar la rápida exponenciación: módulo $100$ $$33^2\equiv -11,\quad 33^4\equiv 21,\quad 33^8\equiv 441\equiv 41,\quad 33^{16}\equiv1681\equiv -19$$ por lo tanto $\,33^{20}\equiv -19\cdot 21 =-(20-1)(20+1)\equiv 1$.

Answer 2

Sugerencia: $33^2\equiv-11\bmod100$.

Answer 3

Otro enfoque:

$$\text{Fórmula de Euler: }\quad a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n} \text{ cuando} \gcd(a,n)=1$$

$$\phi(100)=\phi(2^2)\phi(5^2)=2\cdot 20=40$$

$$\gcd(100,33)=1$$

$$33^{40}\equiv 1 \pmod {100}$$

$$33^{100}\equiv (33^{40})^{2}3^{20}\equiv 3^{20}\pmod {100}$$

$$\equiv (3^5)^4\equiv43^4\equiv 49^2\equiv 01\pmod {100}$$

Answer 4

$$(33)^{100}\equiv(33)^{5\cdot5\cdot4}\equiv(93)^{5\cdot4}\equiv(93)^4\equiv 01\pmod{100}$$

Answer 5

$$\begin{align} 33^{100}&=9^{50}\cdot11^{100}\\ &=(1-10)^{50}(1+10)^{100}\\ &=(1-50\cdot10+\cdots)(1+100\cdot10+\cdots)\\ &\equiv1\mod100 \end{align}$$