¿Para qué es necesaria la gavilla imagen inversa en la geometría algebraica?

Question

Dado un mapa continuo $f \colon X \to Y$ de espacios topológicos, y una gavilla $\mathcal{F}$ en $Y$ la gavilla de imágenes inversas $f^{-1}\mathcal{F}$ en $X$ es la sheafificación del presheaf $$U \mapsto \varinjlim_{V \supseteq f(U)} \Gamma(V, \mathcal{F}).$$ Si $X$ y $Y$ resultan ser espacios anillados, $f$ un morfismo de espacios anillados, y $\mathcal{F}$ un $\mathcal{O}_X$ -se define entonces la gavilla de retroceso $f^* \mathcal{F}$ en $X$ como $$f^{-1}\mathcal{F} \otimes_{f^{-1} \mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X.$$ Sin embargo, no se me ocurre ningún otro uso de la gavilla imagen inversa en geometría algebraica. Además, si $X$ y $Y$ son esquemas y $\mathcal{F}$ es cuasicoherente, hay una forma alternativa de definir $f^* \mathcal{F}$ . Dado $f \colon \mathrm{Spec} B \to \mathrm{Spec} A$ y $\mathcal{F} = \widetilde{M}$ , donde $M$ es un $A$ -se define $f^* \mathcal{F}$ para ser la gavilla asociada a la $B$ -Módulo $M \otimes_A B$ . Para extender esto a esquemas arbitrarios, es necesario demostrar que está bien definido; pero sigo pensando que es más fácil de trabajar que la otra definición, que implica límites directos y dos sheafificaciones de presheaves (la imagen inversa, y el producto tensorial). No lo he comprobado, pero imagino que se puede hacer algo parecido para los esquemas formales.

De ahí mi pregunta:

¿Qué usos, si es que hay alguno, tiene la gavilla imagen inversa en la geometría algebraica, aparte de definir la gavilla pullback?

Una pregunta estrechamente relacionada es

En un curso sobre esquemas, ¿hay una buena razón para definir la gavilla de imagen inversa y la gavilla de pullback para espacios anillados en general, en lugar de definir simplemente el pullback de una gavilla cuasicoherente por un morfismo de esquemas?

Para pasar de la primera pregunta a la segunda, supongo que también hay que abordar si hay $\mathcal{O}_X$ -módulos significativos para los geómetras algebraicos que no son cuasicoherentes.

Editar: Creo que la pregunta merece una cierta aclaración. Varias personas han dado descripciones o explicaciones interesantes de la gavilla de imágenes inversas. Aunque las aprecio, no son el objeto de mi pregunta; en concreto, me interesa saber si hay construcciones o argumentos en geometría algebraica que no puedan realizarse razonablemente sin utilizar la gavilla de imágenes inversas. Hasta ahora, la respuesta parece ser que tales cosas existen, pero no están realmente dentro del alcance de, digamos, un primer curso de un año sobre esquemas. Hay otras construcciones (como la gavilla ideal de imagen inversa) que no requieren, estrictamente hablando, la gavilla de imagen inversa, pero para las que puede ser más apropiado utilizar la gavilla de imagen inversa por una cuestión de gusto.

Answer 1

Por alguna coincidencia, tengo un estudiante que está pasando por estas cosas ahora, y llegamos a este punto ayer mismo.

La definición de $f^{-1}$ es ciertamente desconcertante al principio, pero no es tan malo. Te gustaría decir $$f^{-1}\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(f(U))$$ excepto que no tiene sentido tal como está, a menos que $f(U)$ está abierto. Así que aproximamos por conjuntos abiertos desde arriba. Una sección de la izquierda es un germen de una sección de $\mathcal{F}$ definido en algún vecindad abierta de $f(U)$ donde por germen me refiero a la clase de equivalencia donde se identifican dos secciones si coinciden en una vecindad menor. Incluso si todavía no estás contento con esto, la propiedad de contigüidad te dice que es lo que hay que mirar.

Además, algunos de nosotros trabajamos con gavillas no cuasicoherentes (por ejemplo, gavillas localmente constantes o gavillas construibles), así que es bueno tener una construcción general.

Adenda: En mi respuesta de ayer, había olvidado mencionar el espacio etale o gavilla como un montón de tallos $$\coprod_y \mathcal{F}_y\to Y$$ punto de vista discutido por Emerton y Martin Brandenburg. Si hubieras empezado con esta "imagen de bulto", estaríamos teniendo esta discusión al revés, porque el pullback es la operación natural aquí y el pushforward es lo que parece extraño.

Answer 2

He aquí una respuesta bastante polémica, con un espíritu similar al de Brian:

La gavillación no es un proceso doloroso: se coge una gavilla y se piensa en cómo hay que cambiarla para que los tallos sean los mismos, pero se pueden pegar secciones. Es muy natural.

La imagen inversa también se entiende naturalmente en el mismo tipo de términos: se tiene una gavilla $\mathcal F$ en $X$ y te gustaría hacer una gavilla en $Y$ cuyo tallo en $y$ es igual al tallo de $\mathcal F$ en $f(y)$ (es decir $(f^{-1}\mathcal F)_x = \mathcal F\_{f(x)}$ ). Si reflexionas sobre cómo puedes hacer una construcción rigurosa con estas propiedades, serás conducido a la imagen inversa. (Esencialmente es tomar el producto de la fibra de $\mathcal F$ en $X$ con el mapa $f:Y \to X$ y, de hecho, pensar en la imagen inversa es una buena práctica para desarrollar intuiciones sobre los productos de fibra en muchos otros contextos).

Utilizando la muleta de las afines y las láminas cuasi-coherentes desaconseja pensando en la imagen local (bastante simple y natural) de una gavilla como un montón de tallos pegados. Gran parte del poder de las ideas geométricas en la geometría algebraica proviene de pensar geométricamente Así que uno no quiere desanimarse pensando en las gavillas de esta manera; más bien, se quiere fomentar lo.

En cuanto a las aplicaciones, Donu apunta algunas en su respuesta.

Permítanme anotar otra aquí: si $\mathcal I$ es una gavilla ideal en $X$ entonces $f^{-1}\mathcal I$ es naturalmente una subserie de $f^{-1} \mathcal O_X$ (porque $f^{-1}$ es exacto, como se ve inmediatamente mirando en los tallos y utilizando el hecho de que $f^{-1}$ no cambia los tallos!), y uno a menudo quiere mirar la gavilla ideal en $\mathcal O_Y$ generado por esto. Esto es no lo mismo (típicamente) que $f^*\mathcal O_Y$ . (Al igual que, si $I$ es un ideal en $A$ y $B$ es un $A$ -Álgebra, $B\otimes_A I$ es típicamente no es isomorfo al ideal en $B$ generado por $I$ .)

Ahora hay otras formas de describir esta gavilla ideal en $\mathcal O_Y$ (por ejemplo, es la imagen del mapa natural $f^*\mathcal I \to \mathcal O_Y$ ), pero la descripción de la misma en términos de $f^{-1}\mathcal I$ es conveniente y muy natural.

Answer 3

Una respuesta rápida es que el tallo de una gavilla $F$ en un punto (digamos, dado por una inclusión $f\colon pt \to X$ ) es sólo $f^{-1}F$ .

Answer 4

Donu Arapura (y BCnrd) ya lo ha señalado, pero quiero subrayarlo: la geometría algebraica emplea todo un universo de gavillas que no tienen $\mathscr{O}_X$ acciones, y en esos casos, la imagen inversa es el pullback de elección. Los ejemplos estándar incluyen:

1. Tramas de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas lineales, es decir, secciones planas de una trama cuasicoherente con respecto a una conexión. A veces son razonablemente familiares, por ejemplo, cuando son localmente constantes.
2. $\ell$ -sobre (el sitio etéreo de) una variedad sobre un campo finito de característica $p$ - este fue el primer conjunto de herramientas para demostrar las conjeturas de Weil.
3. Tramas de conjuntos, para estudiar la representabilidad, etc.
4. Trenes de monoides conmutativos, en geometría logarítmica.
5. Tramas de formas diferenciales cerradas (que aparecen al estudiar, por ejemplo, las clases características relacionadas con los operadores diferenciales retorcidos)

Definitivamente he visto la imagen inversa empleada en los primeros 4 casos, y no me sorprendería que apareciera en el quinto.

Answer 5

Prefiero la definición de $f^\*$ como una unión a la izquierda de $f_* : Mod(X) \to Mod(Y)$ . La fórmula que implica la imagen inversa es entonces básicamente una tontería abstracta que utiliza un argumento de transitividad con gavillas constantes, al menos filosófico. La prueba de la existencia es otra cuestión, pero se deduce de hechos bastante generales de la teoría de categorías (extensiones de Kan).

De todos modos, su pregunta era sobre el uso de $f^{-1}$ en la geometría algebraica. Un ejemplo es la gavilla de estructura reducida en un subconjunto cerrado de un espacio localmente anillado. Se toma el ideal de fuga $I$ y luego se retira $\mathcal{O}_X / I$ a lo largo del mapa de inclusión, que a priori es sólo un mapa continuo. También se puede ver esto como un módulo que se retira, pero sólo si ya se ha definido la estructura de la gavilla.

Además, creo que es muy importante aprender el punto de vista algo anticuado sobre las gavillas, es decir, como secciones del espacio etale. Entonces se llega rápidamente a la cuestión de qué gavilla corresponde a la restricción del espacio etale a un subconjunto, que no es necesariamente abierto. Pues bien, se trata simplemente del pullback con respecto al mapa de inclusión.

Por último, es bueno saber que el morfismo $f^{\#} : \mathcal{O}_Y \to f_{*} \mathcal{O}_X$ que aparece en la definición de un morfismo de un espacio anillado, corresponde a un morfismo $f^{-1} \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ de la que se obtienen directamente los mapas de los tallos.