Encontrar el valor de la expectativa conjunta $\mathbb E(\sqrt{X^2+Y^2})$

Question

Sea el par (X,Y) uniformemente distribuido en el disco unitario, de modo que

$f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\pi}&\text{if }x^2+y^2\leq1,\\0&\text{otherwise}.\end{cases}$

Encuentre $\mathbb E\sqrt{X^2+Y^2}$ y $\mathbb E(X^2+Y^2)$ .

No estamos familiarizados con las transformaciones de coordenadas, y mi profesor nos dijo que simplemente miráramos con atención el volumen que estamos tratando de calcular.

Sabemos que

$$\mathbb E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$$ .

Aplicando esto a $g(X,Y)=\sqrt{X^2+Y^2}$ obtenemos

$\begin{aligned}\mathbb E(\sqrt{X^2+Y^2})=&\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \sqrt{x^2+y^2}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx\\ =&\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}\pi^{-1}\,\mathrm dy\,\mathrm dx. \end{aligned}$

Ahora bien, aquí tendría que aplicar alguna transformación útil. ¿Podría alguien ayudarme desde aquí?

Answer 1

Este $$\int_{-1}^1\int_{-1}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}\pi^{-1}\,\mathrm dy\,\mathrm dx$$ Debería ser esto $$\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}\pi^{-1}\,\mathrm dy\,\mathrm dx$$ A continuación, cambiar a coordenadas polares $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin \theta$ y recuerda que el jacobiano de esta transformación es $r$ la integral se convierte en $$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2\pi^{-1}\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$$

Answer 2

Otra forma de hacerlo, que me parece mucho más elegante, es hacer la transformación al principio. En lugar de elegir $X$ y $Y$ usted elige $r \sim [0, 1]$ y $\theta \sim [0, 2\pi)$ y hacer la transformación $$ \begin{align} x &= \sqrt r \cos \theta\\ y &= \sqrt r \sin \theta \end{align} $$ Entonces $\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt r$ y $x^2 + y^2 = r$ por lo que tiene $$ \mathbb E[r] = \frac{1}{2} $$ y $$ \mathbb E[\sqrt r] = \frac{2}{3} $$ Consulte también : http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html