Comprensión de la $m v^2/2$ fórmula de la energía cinética

Question

Tengo algún problema para entender intuitivamente por qué la energía cinética crece cuadráticamente con la velocidad (al menos en el caso no relativista).

Supongamos el siguiente experimento: lanzamos un cohete no tripulado desde un asteroide, dejamos que acelere el tiempo $T$ en una dirección y luego el tiempo $2T$ en dirección contraria; así, con el tiempo $2T$ tiene velocidad cero y en $3T$ Debería estar en la misma posición que en su momento $T$ sólo que con velocidad opuesta. Entonces lo dejamos volar libremente hasta que choque con el asteroide y supongamos que toda la energía cinética se transforma en calor.

Repita el mismo experimento con $T$ sustituido por $\lambda T$ la velocidad final será $\lambda$ veces más grande y utilizamos $\lambda$ -veces de combustible para las aceleraciones. Pero esto difícilmente se puede convertir en $\lambda^2$ -veces la energía.

¿Se esconde la solución en el hecho de que el propio combustible tiene un peso no despreciable?

Answer 1

Vayamos paso a paso, desde la conservación del momento lineal. Por supuesto, el tratamiento riguroso es por la ley de Tsiolkovsky. Aquí estoy diciendo algo menos riguroso pero intuitivo.

Para aumentar la velocidad de cero a $\Delta V$ consumes una masa de combustible $\Delta m$ . Cuando digo de cero Quiero decir que considero una serie discreta de consumos rápidos de combustible. En tal evento de consumo, en el marco de referencia del cohete su velocidad es cero, y queremos adquirir una velocidad $\Delta V$ . Entonces, la conservación del momento dice

$$\Delta {m} .v = (M - \Delta m)\Delta V$$

$$\dfrac{{Δm v^2} + {M (ΔV)^2}}{2} = E_{Δm}$$

donde $M$ es la masa del cohete antes de consumir $Δm$ de combustible, $v$ es la velocidad del gas expulsado, y $E_{Δm}$ es la energía que $Δm$ de combustible puede liberar. Utilicemos valores absolutos para las velocidades, para no llevar en todas las fórmulas el menos causado por la dirección opuesta de las velocidades del cohete y del gas.

Así, $$v = \dfrac{(M - Δm)ΔV}{Δm},$$ y $$(ΔV)^2 = \dfrac{2E_{Δm}}{ [M^2/Δm - (M - Δm)]} ,$$

de la cual

$$ΔV = \sqrt{\dfrac{2E_{Δm}}{ [M^2/Δm - (M - Δm)]}} .$$

Así que, incluso en mi tratamiento no riguroso, la velocidad y la cantidad de combustible quemado no están en relación lineal.

Espero que sea de ayuda.

Answer 2

Tienes un par de problemas en tu ejemplo.

La primera es que tu ejemplo no tiene realmente la velocidad. Estás preguntando por la relación cuadrática entre la velocidad y la energía, y tu ejemplo, en cambio, habla de tiempo y combustible, no de velocidad.

Eso significa que tu otro problema es que estás asumiendo que un motor de cohete aumenta la energía cinética del cohete en una relación lineal con el tiempo que arde. Por desgracia, no es así.

Los cohetes proporcionan un empuje constante, no una potencia constante. La energía proporcionada por un cohete viene dada por el viejo recurso: $W = F \times d$ . Dividiendo ambos lados por el tiempo, vemos que $$ \frac{W}{t} = F \times \frac{d}{t}$$ $$ P = F \times v$$

La potencia de un cohete (el ritmo al que aumenta la energía cinética de una nave) depende de la velocidad. Esto significa que la energía de la nave es (aproximadamente) proporcional a $t^2$ de la quemadura, no $t$ .