Solución de $\sqrt{5-2\sin x}\geq 6\sin x-1$

Question

Resuelve la siguiente desigualdad. $$\sqrt{5-2\sin x}\geq 6\sin x-1.$$

Mis intentos:

Como $5-2\sin x>0$ por lo que no hay que preocuparse por el dominio.

Caso 1: $6\sin x-1\leq0\implies \sin x\leq\dfrac{1}{6}\implies -1\leq\sin x\leq\dfrac{1}{6}\tag*{}$

Caso 2: $6\sin x-1>0\implies \dfrac{1}{6}<\sin x<1\tag*{}$

$\implies 5-2\sin x\geq36\sin^2x+1-12\sin x\implies 18\sin^2x-5\sin x-2\leq0$

$\implies(2\sin x-1)(9\sin x+2)\leq0$

$\implies\sin x\ \epsilon\ \bigg(\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{2}\bigg]$

Todo lo anterior implica $\sin x\ \epsilon\ \bigg[-1,\dfrac{1}{2}\bigg]$ .

La respuesta se da en el formulario: $\bigg[\dfrac{\pi(12n-7)}{6},\dfrac{\pi(12n+1)}{6}\bigg]\ (n\epsilon Z)$

¿Cómo llego al formulario que aparece en las opciones? Ni siquiera sé si lo que tengo es correcto o no.

Por favor, ayuda.

Answer 1

Su solución es correcta.

Sólo tiene que escribir la respuesta, para lo cual

sólo asumir el $y$ -eje el punto $\frac{1}{2}$ y necesitas $\sin{x}\leq\frac{1}{2}$ , lo que da $y\leq\frac{1}{2}$ y el arco $$\left[-\frac{7\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]$$ en la circunferencia trigonométrica y añadir $2\pi n$ en ambos lados.

Answer 2

Resolviendo la desigualdad $$18\sin(x)^2-5\sin(x)-2\le 0$$ tenemos $$2 \pi c_1-\sin ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)\leq x\leq \frac{1}{6} \left(12 \pi c_1+\pi \right)\lor \frac{1}{6} \left(12 \pi c_1+5 \pi \right)\leq x\leq 2 \pi c_1+\pi +\sin ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)$$

Answer 3

Pista:)

Otra forma que puede ser útil. Deje que $y=5-2\sin x$ , de $\sqrt{5-2\sin x}\geq 6\sin x-1$ que encuentres $$3y-\sqrt{y}-14\geq0$$ da $(\sqrt{y}-2)(\sqrt{y}+\dfrac73)\geq0$ . Se puede discutir sobre las condiciones y encontrar que $\sin x\leq\dfrac12$ . Esto concluye $$\color{blue}{\left[2k\pi+\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{3},2k\pi+\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{2\pi}{3}\right]}$$