Mostrar un corolario del teorema de Hoeffding

Question

Actualmente estoy leyendo el libro Mathematical Statistics de Jun Shao, y en su discusión sobre la estadística U, demuestra que

$Var(U_n) = $ $n\choose m$$ ^{-1} \Nsuma_{k=1}^m $$m \choose k$$ n - m \N - elige m-k $$\zeta_k$

donde $\zeta_k$ es la varianza de la expectativa condicional del núcleo que condiciona a $X_1,\ldots,X_k$ n es el tamaño de la muestra y m es el número de argumentos de la función del núcleo. A continuación, establece los tres hechos siguientes como corolario:

(i) $\frac{m^2}{n}\zeta_1 \leq Var(U_n) \leq \frac{m}{n}\zeta_m$

(ii) $(n+1)Var(U_{n+1}) \leq nVar(U_n)$

(iii) Para cualquier m y $k = 1,\ldots,m$ , si $\zeta_j = 0$ para $j < k$ y $\zeta_k > 0$ entonces

$Var(U_n) = \dfrac{k! {m\choose k}^2\zeta_k}{n^k} + O\left(\frac{1}{n^{k+1}}\right)$

¿Cómo podemos pasar del enunciado del Teorema de Hoeffding a estos? En particular, tengo problemas para simplificar las operaciones de elección.

Answer 1

Mediante la descomposición de la varianza ( $Var(X) = Var(E(X|Y)) + E(Var(X|Y))$ ), se puede demostrar que $\zeta_1 \le ... \le \zeta_m$ .

Tenga en cuenta que $n \choose m$$ ^{-1} $ $ m \N - elija k $ $ n-m \N - elige m-k $ = $ ¡k! $$m \choose k$$ ^2\frac{(n-m)(n-m-1)...(n-2m+k+1)}{n(n-1)...(n-m+1)} $, $ k=1...,m-1 $. The denominator has $ m $ terms and the numerator has $ m-k $ terms. If $ k=1 $, the ratio is $ 1/n+O(1/n^2) $; if $ k=2 $, the ratio is $ 1/n^2+O(1/n^3)$ y así sucesivamente. Esto es suficiente para demostrar (iii).

La parte (ii) es difícil y creo que la inducción podría ser un buen punto de partida.

La segunda desigualdad de la parte (i) utiliza que $nVar(U_n)$ es una secuencia decreciente (Parte(ii)). La primera desigualdad es por el hecho de que $nVar(U_n)$ converge a $m^2 \zeta_1$ (Parte iii)) y $nVar(U_n)$ es decreciente.