Confundido acerca de los números complejos

Question

Estoy confundido acerca de algo: \begin{eqnarray} (e^{2 i \pi})^{0.5} = (e^{2 i \pi \cdot 0.5})= e^{i \pi}=-1 \end{eqnarray} pero \begin{eqnarray} e^{2 i \pi}=1~ and~ 1^{0.5}=1 \end{eqnarray} donde está mi error??

gracias

Answer 1

Es exactamente como si usted podría escribir:

Estoy confundido acerca de algo: $$((-1)^2)^{0.5} = (-1)^{2\cdot 0.5} = (-1)^1 = -1$$ pero $$(-1)^2=1 \text{ and } 1^{0.5} = 1$$ donde está mi error??

Answer 2

Cuando se trata con números complejos, ya no de intercambio de los radicales con exponentes fraccionarios, en la misma forma que lo hizo con los números reales positivos.

Si $x$ es real, $\sqrt[3]x$ indica el director de la raíz cúbica de a $x$, y sólo un valor. De esta manera $8^{1/3}$ $\sqrt[3]{8}$ significan la misma cosa.

Pero si lo que estamos haciendo álgebra con números complejos, y escribimos $5^{1/3}$, significaría que cualquier solución a $z^3 - 5 = 0$.

Por lo $1^{1/2}$ se define como cualquier solución a $z^2 - 1 = 0$. $z = 1$ y $z = -1$ son ambas soluciones para esto.

Answer 3

Exponentation $x^y$ puede ser definido de manera inequívoca cuando $x$ es un número real positivo, y $y$ es cualquier número complejo. El valor es (por definición, si te gusta) igual a $\exp(y\ln(x))$ donde $\exp:\Bbb C\to\Bbb C$ es lo habitual en la función exponencial, que está bien definido y bien portados. [Escribir usando $e^z$ daría una circular en la definición de aquí.] Pero la regla de $x^{yz}=(x^y)^z$ es válida únicamente cuando se $y$ es real; esto es más estricto que el que requieren $x^y$ a ser real (como la pregunta de la muestra), que es la condición necesaria para $(x^y)^z$ a definirse en el primer lugar.

La prueba de que $x^{yz}=(x^y)^z$ al $x>0$ $y$ son reales es simple: $$ x^{yz}\stackrel{\rm def}=\exp(yz\ln(x)) = \exp(z\ln(x^y))\stackrel{\rm alimentados}=(x^y)^z \qquad(x,y\in\Bbb R, x>0, z\in\Bbb C). $$ Esto también muestra que una situación con $x^{yz}\neq(x^y)^z$ cuando ambos lados están definidos pero $y\notin\Bbb R$ debe reducirse a una similar, pero más básicos de la situación que involucra a $\ln$. De hecho, la regla de $y\ln(x)=\ln(x^y)$ no es válido para $y\notin\Bbb R$ aunque los argumentos a $\ln$ son reales: $$\def\ii{\mathbf i} 2\pi\ii=2\pi\ii\ln(e)\neq\ln(e^{2\pi\ii})=\ln(1)=0. $$

---

Curiosamente, el fracaso de $x^{yz}=(x^y)^z$ al $y\notin\Bbb R$ no disuada a la gente a emplear esta misma regla cuando se trata de "definir" tal exressions como $\ii\,^\ii$. Me parece que esos intentos verdaderamente patético. No hay ningún punto en el intento de definir la exponenciación más allá del caso de resultados positivos de una base real, o exponente del número entero; uno no gana nada pero la confusión.

Answer 4

Aquí, permítanme intentar hacer una analogía que usted podría ser capaz de entender, simplemente. Como se indicó en los comentarios, 1 tiene dos raíces cuadradas: 1 y -1. Ver por qué esto es importante a continuación.

$$((-1)^{2})^{0.5} = (-1)^{(2 \times 0.5)} = (-1)^1 = -1$$

O

$$((-1)^{2})^{0.5} = 1^{0.5} = \sqrt{1} = 1$$

¿Se puede pasar?