Siguiendo mi pregunta anterior sobre la integración Riemann-Stieltjes, me planteo este problema.
Dejemos que $f_1$ y $f_2$ estar acotado en $[a,b]$ y $\alpha$ está aumentando en $[a,b]$ . Definir $f = f_1 +f_2$ . Demuestre las afirmaciones o dé un contraejemplo para demostrar que las afirmaciones dadas son falsas:
$1.$ $U(P,f,\alpha) \le U(P,f_1,\alpha) + U(P,f_2,\alpha)$
$2.$ $L(P,f,\alpha) \le L(P,f_1,\alpha) + L(P,f_2,\alpha)$
Mi intento: La primera afirmación es correcta. Sabemos que $$U(P,f,\alpha) = \sum_{i =1}^{n} M_i \Delta \alpha_i , \ M_i = \sup\{f(x):x\in [x_{i-1}, x_i]\} \\ U(P,f_1,\alpha) = \sum_{i =1}^{n} N_i \Delta \alpha_i , \ N_i = \sup\{f_1(x):x\in [x_{i-1}, x_i]\} \\ U(P,f_2,\alpha) = \sum_{i =1}^{n} Q_i \Delta \alpha_i , \ Q_i = \sup\{f_2(x):x\in [x_{i-1}, x_i]\}$$ Así que tenemos $$U(P,f_1,\alpha) + U(P,f_2,\alpha) = \sum_{i =1}^{n} N_i \Delta \alpha_i + \sum_{i =1}^{n} Q_i \Delta \alpha_i = \sum_{i =1}^{n} (N_i+Q_i) \Delta \alpha_i \ge \sum_{i =1}^{n} M_i \Delta \alpha_i = U(P,f,\alpha)$$ La desigualdad proviene del hecho de que $$\sup(A+B)\le \sup(A) + \sup(B)$$ La segunda es falsa. Sea $f_1 = x$ y $f_2 = -x$ y $a = 0,b=2, P = \{0,1,2\}$ . Por lo tanto, $$L(P,f_1,\alpha) = 1,L(P,f_1,\alpha) = -3 \\ L(P,f,\alpha) = 0$$ Obviamente $0 \not \le -2$ y esto es falso.
¿Es correcta mi respuesta? Si no es así, por favor, explique por qué.
