Demuestre que esta serie converge

Question

Quiero demostrar que la siguiente serie converge.

$$\sum_{n=1}^\infty 2^{-n/2}\sqrt{\log{(2^n)}}$$

Intenté acotarlo desde arriba mediante una secuencia convergente sin éxito. Se agradecería si alguien pudiera ayudarme. Gracias cuatro su ayuda.

hulik

Answer 1

$\log(2^n) = n \log (2)$ por lo que consideramos $\displaystyle\sum\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n/2}}$ . Pero cualquier polinomio sobre un exponencial converge, ¿no?

Answer 2

$\log(2^n) = n \log(2)$ . Así, en su serie, el $\sqrt{\log 2}$ es una constante que se puede sacar, es decir, no afecta a la convergencia ni a la divergencia. Lo que queda es $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{2^{n/2}}$$ ¿Te parece más fácil? Utiliza la prueba de la proporción.

Answer 3

Ya que ha mencionado la prueba de comparación... Primero note que $$2^{-n/2}\sqrt{\log{(2^n)}} = \frac{\sqrt{n\log{(2)}}}{\sqrt{2^n}} = \sqrt{\frac{n\log(2)}{2^n}},$$ así que $$\sum_{n=1}^\infty 2^{-n/2}\sqrt{\log{(2^n)}} = \sqrt{\log(2)}\sum_{n=1}^\infty \sqrt{\frac{n}{2^n}}.$$ A continuación, observe que $2^{n/2}\geq n$ para cualquier $n\geq 4$ . Por lo tanto: $$\sum_{n=4}^\infty 2^{-n/2}\sqrt{\log{(2^n)}} = \sqrt{\log(2)}\sum_{n=4}^\infty \sqrt{\frac{n}{2^n}} \leq \sqrt{\log(2)}\sum_{n=4}^\infty \sqrt{\frac{2^{n/2}}{2^{n}}} = \sqrt{\log(2)}\sum_{n=4}^\infty \sqrt{\frac{1}{2^{n/2}}}=\sqrt{\log(2)}\sum_{n=4}^\infty \frac{1}{2^{n/4}},$$ y la última serie es claramente convergente. Por tanto, la serie original también es convergente.

Answer 4

La prueba de la relación o la prueba de la raíz lo hará muy bien.