Calcule la densidad de $Y=|X|$ cuando $X$ se distribuye normalmente

Question

Cuando $X$ tiene la distribución normal $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ calcular la densidad de $Y=|X|$

Lo sé. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)dx=1$

pero la elección de $\mu$ no cambia el resultado (la integral es siempre 1), así que si tomamos $\mu=0$ entonces la función se iguala y como $Y$ apoya sólo la parte positiva tenemos que multiplicar la distribución por 2, pero ¿podemos entonces traducirlo de nuevo y esta es nuestra función?

$2^{nd}$ Pregunta: ¿cuál es la diferencia entre distribución y densidad, en este caso parecen ser lo mismo o no?

Answer 1

Si $X$ tiene densidad $f$ entonces $Y=|X|$ tiene densidad $g$ donde $$ g(y)=(f(y)+f(-y))\,\mathbf 1_{y\gt0}. $$ En el presente caso, $$ g(y)=\frac{\mathrm e^{-(y^2+\mu^2)/\sigma^2}\,(\mathrm e^{y\mu/\sigma^2}+\mathrm e^{-y\mu/\sigma^2})}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\mathbf 1_{y\gt0}. $$

Answer 2

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ entonces $P(X \leq u) = P(X \in (-\infty,u]) = P(X \in (-\infty,u)) = \Phi_{\mu,\sigma^2}(u)$ , donde $$ \Phi_{\mu,\sigma^2}(u) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^u e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \,dx $$ es el función de distribución acumulativa (CDF) de $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ . Tenga en cuenta que el densidad de $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ es $$ \phi_{\mu,\sigma^2}(x) = \frac{d}{dx} \Phi_{\mu,\sigma^2}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

Ahora dejemos que $Y = |X|$ y $u \geq 0$ . La FCD de $|Y|$ es $$\begin{eqnarray} P(Y \leq u) &=& P(|X| \leq u) = P(X \in [-u,u]) = P(X \in (-\infty,u]\setminus (-\infty,-u)) \\ &=& P(X \in (-\infty,u]) - P(X \in (-\infty,-u)) = \Phi_{\mu,\sigma^2}(u) - \Phi_{\mu,\sigma^2}(-u) \text{.} \end{eqnarray}$$

Para encontrar el densidad de $|Y|$ , volvemos a diferenciar $$ \frac{d}{du} P(Y \leq x) = \frac{d}{dx} \Phi_{\mu,\sigma^2}(x) - \frac{d}{du} \Phi_{\mu,\sigma^2}(-x) = \phi_{\mu,\sigma^2}(x) + \phi_{\mu,\sigma^2}(-x) \text{.} $$ Así, la densidad de $|Y|$ en $\mathbb{R}$ es $$ f_Y(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left(e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} + e^{-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2}}\right) &\text{if $u \geq 0$} \\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$

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Tenga en cuenta que esto funciona independientemente de la distribución específica de $X$ - excepto en la última línea donde definimos la densidad resultante $f_Y$ Nunca hemos utilizado ninguna propiedad específica de $\Phi_{\mu,\sigma^2}$ o $\phi_{\mu,\sigma^2}$ , excepto que son una FCD respectivamente su densidad. Por lo tanto, se mantiene para cualquier variable aleatoria con FCD $F_X$ y la densidad $f_X$ que $|X|$ tiene la densidad $$ f_{|X|}(x) = \begin{cases} f_X(x) + f_X(-x) &\text{if $x \geq 0$} \\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$ y la función de distribución acumulativa $$ F_{|X|}(u) = F_{X}(u) - F_{X}(-u) \text{.} $$ Sin embargo, hay que tener en cuenta que la fórmula de la FCD es equivocado si $X$ no lo hace tienen una densidad (por ejemplo, para una distribución discreta), aunque la densidad nunca se mencione directamente. Esto se debe a que en la derivación de $F_{|X|}$ asumimos en un momento dado que $P(X \leq u) = P(X < u)$ .