Aclaración sobre la derivación de la ecuación de Euler-Lagrange

Question

Lo que sigue es un extracto de la página 8 de https://courses.maths.ox.ac.uk/node/view_material/44170 :

Tengo un problema con la línea: "Es fácil ver que esto significa que ambos términos del lado derecho deben desaparecer...". Es decir, no veo por qué el primer término del lado derecho no puede ser simplemente el negativo del otro.

Answer 1

Prueba de boceto:

1. Supongamos que $y$ es estacionaria para que el LHS. de la ec. (15) desaparezca.

2. Comience por considerar $\eta$ que desaparece en la frontera. Entonces el primer término del lado derecho de la ecuación (15) desaparece. A partir de la lema fundamental del cálculo de variaciones se deduce que el Ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) se satisfacen en el intervalo abierto $]a,b[$ que por continuidad se puede extender al intervalo cerrado $[a,b]$ .

3. Considere lo siguiente $\eta$ que no necesariamente se desvanece en $x=a$ pero se desvanece en $x=b$ . Sin embargo, el segundo término del lado derecho de la ecuación (15) sigue siendo cero, véase la parte 2. Por lo tanto, el primer término debe desaparecer también. Esto sólo puede ocurrir en $2$ formas:

   1. condición límite fija de punto final/esencial/Dirichlet en $x=a$ o
   2. condición límite natural en $x=a$ .

4. Se llega a una conclusión similar para la condición límite en $x=b$ . $\Box$