Conozco los campos de división de los campos finitos $\mathbb{F}_p$ son de la forma $\mathbb{F}_{p^n}$ donde n es el grado de la extensión sobre $\mathbb{F}_p$ . En consecuencia, los campos intermedios son de la forma $\mathbb{F}_{p^d}$ donde $d$ divide $n$ .
Además, sé que el polinomio $x^{p^n}-x$ es precisamente el producto de todos los polinomios irreducibles de grado que dividen a $n$ y que su campo de división es $\mathbb{F}_{p^n}$ .
Aquí están mis pensamientos. $(x^3+x^2+1)(x^3+x+1)(x^2+x+1)$ divide $x^{2^6}-x$ . Sólo faltan los 9 polinomios irreducibles de grado 6, $x+1$ y $x$ . Sin embargo, los dos últimos no aportan nada al campo de división. Así que el campo de división debe estar contenido en $\mathbb{F}_{2^6}$ y también lo es uno de $\mathbb{F}_{2^d}$ donde $d = 1, 2, 3, \text{or } 6.$ Sin embargo, es al menos $\mathbb{F}_{2^3}$ ya que contiene el campo de división de $x^3+x^2+1$ (que es $\mathbb{F}_{2^3}$ ).
Así que sólo tengo que descartar la $d=6$ posibilidad. Una forma sería presentar una raíz de uno de los 9 polinomios irreducibles de grado 6 y demostrar que no está en el campo de división en cuestión. Pero eso no parece divertido. Quizá el campo de división sea $\mathbb{F}_{2^6}$ No estoy seguro.
Se agradecerá cualquier consejo. También se agradecen los métodos alternativos. Gracias.
