Probabilidad en un plano infinito

Question

_{^{(Pensé que este es un problema popular, pero lamentablemente Google no arroja nada).}}

Se eligen tres puntos al azar en un plano infinito. ¿Cuál es la probabilidad de que estén en una línea?

Y una variante: el plano es discreto, es decir, las coordenadas de los puntos son ambas enteras.

¿Cómo puedo abordar esto?

Answer 1

No existe "al azar en un plano infinito", al igual que no existe "al azar en una línea infinita" o "al azar en los enteros". Es decir, no existe ninguna medida de probabilidad invariable por traslación en una recta, un plano o un entramado de enteros. Hay muchas medidas de probabilidad no invariantes por traslación, pero ninguna especialmente distinguida. Sin embargo, para cualquier medida de probabilidad que sea absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, la probabilidad de que los tres puntos sean colineales es 0. Para el caso discreto, se obtendrá una respuesta distinta de cero, pero dependerá de la medida que se elija.

Answer 2

No existe ninguna medida de probabilidad invariable por traslación en el plano, por lo que hay que encontrar una forma de dar un sentido a la pregunta.

En el entorno continuo, una posibilidad es elegir tres puntos independientes distribuidos uniformemente en un dominio del plano de área finita, y luego dejar que el dominio crezca. Para todo dominio dado, condicionando las ubicaciones de dos puntos, la probabilidad de que el tercer punto esté en la línea que forman es el cociente entre el área de la línea (que es cero) y el área de todo el dominio, por lo que es cero, y el límite cuando el dominio crece será también cero.

Un razonamiento similar se aplica al plano discreto, excepto que la probabilidad de que el tercer punto esté en la línea que hacen los dos primeros no será exactamente cero, pero irá a cero cuando el dominio sea grande, por lo que la conclusión es la misma.