Mostrar $A=(I-S)(I+S)^{-1}$ es una matriz ortogonal si $S$ es una matriz real antisimétrica

Question

Estoy tratando de demostrar que si $S$ es una matriz real antisimétrica ( $S^T=-S$ ), entonces $A=(I-S)(I+S)^{-1}$ es una matriz ortogonal. $I$ es la matriz de identidad.

Para demostrar que $A$ es ortogonal, es decir $A^T=A^{-1}$ Primero calculé $A^T$ y $A^{-1}$ :

$$A^T=[(I+S)^{-1}]^T(I-S)^T=[(I+S)^T]^{-1}(I-S)^T=(I+S^T)^{-1}(I-S^T)=(I-S)^{-1}(I+S)$$ $$A^{-1}=(I+S)(I-S)^{-1}$$

¿Cómo puedo demostrar entonces que $(I-S)^{-1}(I+S)=(I+S)(I-S)^{-1}$ para poder demostrar $A$ ¿es ortogonal?

Answer 1

Un enfoque es observar que por el teorema de Cayley Hamilton, $(I-S)^{-1}$ puede expresarse como un polinomio de $S$ y para dos polinomios cualesquiera $p,q$ tenemos $p(S)q(S) = q(S)p(S)$ .

Para una prueba directa, podemos observar que $$ (I + S)(I - S)^{-1} \\ = (2I - (I - S))(I - S)^{-1}\\ = 2(I - S)^{-1} - I\\ = (I - S)^{-1}(2I - (I - S))\\ (I - S)^{-1}(I + S). $$

Answer 2

$$(I-S)^{-1}(I+S)=(I+S)(I-S)^{-1}$$

$$ \iff$$

$$(I+S)=(I-S)(I+S)(I-S)^{-1}$$

$$ \iff$$

$$(I+S)(I-S)=(I-S)(I+S)$$

$$ \iff$$

$$I-S+S-S^2=I+S-S+S^2.$$