Funciones $f$ tal que $A$ y $f(A,B)$ son independientes

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son dos variables aleatorias dependientes. ¿Hay algún resultado sobre las funciones $f$ tal que $C =f(A, B)$ y $A$ son independientes?

Por ejemplo, se puede demostrar fácilmente que $A$ y $C = F_{B|A}(B, A)$ son independientes cuando $F_{B|A}(., .)$ es la función CDF condicional de $B$ , dado $A$ . (Estoy utilizando la FCD condicional como función de dos variables aleatorias). Esto se llama la descomposición de Darmois en la literatura de procesamiento de señales.

Así que $A$ y $h\Big(F_{B|A}(B, A)\Big)$ también son independientes cuando $h$ es una función medible.

¿Existen otras funciones como $C =f(A, B)$ y $A$ son independientes?

Answer 1

Debo decir que no entiendo bien su anotación. Existe una descripción completa de los complementos independientes en el sentido que pides, pero prefiero formularla en términos algo diferentes, concretamente en el lenguaje de los espacios de Lebesgue y sus particiones medibles debido a Rokhlin . El espacio de probabilidad base en este problema es la distribución conjunta de $A$ y $B$ denotemos este espacio por $(X,m)$ . Entonces la variable aleatoria $A$ es una función sobre el espacio $X$ . Por uno de los teoremas de Rokhlin, si la distribución de $A$ y casi todas las distribuciones condicionales de $B$ son puramente no atómicos, entonces el espacio $(X,m)$ puede identificarse con el cuadrado unitario dotado de la medida de Lebesgue, y $A$ con la proyección de este cuadrado sobre la primera coordenada. Entonces en esta configuración se está preguntando por las funciones $C$ en el cuadrado unitario dotado de la medida de Lebesgue que son independientes de la primera coordenada. Todas ellas son de la forma $$ C(x_1,x_2) = \phi ( \Psi^{x_1} (x_2)) \;, $$ donde $\Psi^{x_1}$ es una familia medible de automorfismos del intervalo unitario, y $\phi$ es una función medible en el intervalo unitario.