Nuestro $20$ -l árbol de Navidad artificial de un año tiene luces incorporadas, pero los tercios superior e inferior están quemados. Así que decidí comprar varias ristras de "luces para el árbol" nuevas (mucho más baratas) (durante una rebaja tras el final de las últimas Navidades), la mayoría de las cuales seguirían funcionando aunque se quemara una luz (supongo que conectadas en paralelo).
Las ramas del árbol inferior son $4$ -de diámetro, $r_0 = 2$ -pies, las ramas superiores de los árboles son $1$ -de diámetro, $r_h = 0.5$ -y la distancia de altura vertical entre las ramas superiores e inferiores es $h = 5.5$ -Pies. El pico central superior se eleva, pero no incluirá luces.
Si quiero envolver el árbol de abajo a arriba, con $1$ -pie de distancia vertical entre envolturas, ¿qué longitud de hilo luminoso se necesita?
Así es como ataqué el problema.
Relacioné todas las variables en función del número de vueltas que envuelven el árbol de abajo a arriba.
La altura (de la envoltura de la cuerda de luz) es $5.5$ -pies con $1$ -pie de distancia vertical, por lo que hay $5.5$ -vueltas = $11 \cdot \pi$ radianes, de rotación a medida que se avanza de abajo hacia arriba.
Dejo que $\theta$ (el ángulo) sea la variable de integración de $0$ a $11 \cdot \pi$ .
Yo, de forma imaginaria, fijé un sector de elemento cilíndrico de concha en el extremo de una rama a media altura del árbol. El hilo luminoso pasaría en diagonal por el centro de este elemento. Los bordes del elemento representan: la componente de longitud de arco diferencial, $ds$ , el componente de altura diferencial, $dh$ y la componente del radio diferencial, $dr$ .
La longitud diagonal diferencial, $dl$ en términos de $d\theta$ sería $$\frac{dl}{d\theta} = \sqrt{(ds_\theta)^2 + (dh_\theta)^2 + (dr_\theta)^2}$$
$r$ en función de theta: $$r_\theta = r_0 - \frac{( r_0 - r_h ) \cdot \theta}{11 \cdot \pi}$$ $\frac{dr_\theta}{d\theta}:$ $$dr_\theta = - \frac{ r_0 - r_h }{11 \cdot \pi} \cdot d\theta$$ $h$ en función de theta: $$h_\theta = \frac{5.5 \cdot \theta}{11 \cdot \pi}$$ $\frac{dh_\theta}{d\theta}:$ $$dh_\theta = \frac{5.5}{11 \cdot \pi} \cdot d\theta$$ $s$ , longitud de arco, en función de theta: $$s = r \cdot \theta$$ $\frac{ds_\theta}{d\theta}:$ $$ds_\theta = r_\theta \cdot d\theta$$ $$ds_\theta = (r_0 - \frac{( r_0 - r_h ) \cdot \theta}{11 \cdot \pi}) \cdot d\theta$$ Conectando lo anterior a un HP- $42$ S en mi teléfono e integrando $dl$ como $\theta$ gira en torno a $0$ a $11 \cdot \pi$ : $$L=\int_0^{11 \cdot \pi} \frac{dl}{d\theta} \cdot d\theta$$ rendimientos, $L\approx43.6$ -Pies. Al variar la separación vertical, esto permite acomodar uniformemente la longitud de una cadena de luces ensamblada modularmente. (Tenga en cuenta que esto también altera el número total de vueltas).
Antes de que tuviera la oportunidad de probar la modificación, mi mujer dijo: "No", y devolvimos los nuevos juegos de "luces para el árbol" y, en su lugar, adquirimos un nuevo Árbol de Navidad (el modelo del año pasado) en oferta después de la última Navidad. $$\prod_0^{n=2}(Ho_n) = Ho \cdot Ho \cdot Ho$$
