¿Cómo podemos utilizar Cauchy en un contorno con raíces repetidas?

Question

Así que según esta pregunta , podemos resolver esencialmente una integral de contorno sin utilizar la integración, utilizando a Cauchy.

Así que esta pregunta es, ¿cómo podemos utilizar el mismo método con raíces repetidas? En otras palabras, ¿podemos resolver (sin integración):

$$\int_C{\frac{z^4}{(z-1)^2(z+1)}}$$

...donde C es un contorno alrededor del origen?

En principio, el método parece consistir en obtener la integral y dividirla en trozos:

$$\int_C{\frac{z^4}{(z-1)^2(z+1)}}$$

$$=2 \pi i \left( \lim_{z \to -1}{\frac{z^4}{(z-1)^2}} + \lim_{z \to 1}{\frac{z^4}{(z+1)}} \right)$$

¿En qué me estoy equivocando?

Por favor, consulte la pregunta enlazada anteriormente para conocer los detalles del método. Parece que no da la respuesta correcta. Por integración, debería dar $4 \pi i$ pero tengo $3 \pi i / 2$ .

Answer 1

Primero se descompone el integrando en tres partes utilizando la descomposición de fracciones parciales: $$ \dfrac{z^4}{(z-1)^2(z+1)} = \dfrac{z^4}{4(z+1)} - \dfrac{z^4}{4(z-1)} + \dfrac{z^4}{2(z-1)^2} $$ y así se puede reescribir la integral como $$ \int_C \dfrac{z^4}{4(z+1)}\,dz - \int_C \dfrac{z^4}{4(z-1)} \,dz + \int_C\dfrac{z^4}{2(z-1)^2} \,dz. $$ Las dos primeras pueden resolverse mediante el teorema de Cauchy con las funciones $f(z) = z^4/4$ evaluado en $z = -1$ y $1$ respectivamente, que en realidad resulta ser cero. Para la última integral podemos utilizar la versión más generalizada: $$ f'(a) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_C \dfrac{f(z)}{(z-a)^2} \,dz. $$ Esto dice que la tercera integral es igual a $$ 2\pi i f'(1) $$ avec $f(z) = z^4/2$ que te da la respuesta que buscas.

Answer 2

Para obtener el residuo en $z=1$ hay que tomar la derivada del trozo de la función analítica en $z=1$ . Es decir, el residuo allí es igual a

$$\left [ \frac{d}{dz} \frac{z^4}{z+1}\right]_{z=1} = \left [ \frac{3 z^4 + 4 z^3}{(z+1)^2}\right]_{z=1} = \frac{7}{4}$$

por lo que la integral es

$$i 2 \pi \left ( \frac14 + \frac{7}{4}\right ) = i 4 \pi$$

Para ver por qué es así, imagine una función $p(z)/q(z)$ , donde $q(z) \sim (z-z_0)^2$ cerca de $z=z_0$ y $p(z)$ es analítica en $z=z_0$ . Entonces $p(z) = p(z_0)+p'(z_0) (z-z_0)$ cerca de $z=z_0$ y la integral sobre el contorno $C$ es

$$\oint_C dz \left ( \frac{p(z_0)}{(z-z_0)^2} + \frac{p'(z_0)}{z-z_0}\right)$$

Obsérvese que la primera pieza es z \integrates a cero, mientras que la segunda pieza es

$$i 2 \pi p'(z_0)$$

como se iba a demostrar.