Es $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{d}])$ un entramado en $SL_2(\mathbb{R}) \times SL_2(\mathbb{R})$ para todos los d?

Question

Dejemos que $d > 0$ sea un número entero libre de cuadrados.

Si $d \equiv 2,3 \text{ mod } 4$ entonces $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es el anillo de enteros del campo numérico $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ . Así, podemos considerar los dos mapas $i_1, i_2 \colon \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \to \mathbb{R}$ dado por $x + y\sqrt{2} \mapsto x \pm y \sqrt{2}$ y la imagen del mapa inducido $$ SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{d}]) \hookrightarrow SL_2(\mathbb{R}) \times SL_2( \mathbb{R}) $$ es un entramado.

¿Esto también es válido para el caso $d \equiv 1 \text{ mod } 4$ , donde $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es en general no un anillo de enteros de un campo numérico?

Answer 1

Claro; si $A$ es el anillo de enteros de un campo numérico y $B$ es una orden, entonces $\mathrm{SL}_2(B)$ tiene un índice finito en la versión para $A$ ya que contiene el núcleo del mapa al grupo finito $\mathrm{SL}_2(A/N)$ para algunos $N$ desde $B$ contendrá $NA$ donde $N$ es el índice. Por supuesto, hay que saber que $\mathrm{SL}_2(A)$ es un entramado en $\mathrm{SL}_2(A \otimes \mathbf{R})$ que usted parece conocer implícitamente, pero que también se encuentra en libros estándar sobre grupos aritméticos como el de Dave Morris.