La expresión máxima y compleja

Question

Si Z es un número complejo tal que : $|Z+4|\leq3$ , encuentre el valor máximo de $|Z+1|$

Mi turno:

$|(x+4) + yi|\leq 3$

representa la superficie de un círculo cuyo centro es (-4 ,0) y su radio es 3 , entonces

$-7\leq x \leq -1$ entonces

$-6 \leq (x+1)\leq 0$

Entonces $0\leq(x+1)^2 \leq 36 $

Y

$-3\leq y \leq 3$

Entonces

$0\leq y^2 \leq 9$

Entonces

$0\leq (x+1)^2 + y^2 \leq 45$

Entonces

$|Z +1|\leq 3\sqrt{5}$

Entonces el valor máximo requerido es $3\sqrt{5}$

¿Es correcta la solución?

Answer 1

El límite superior que has demostrado es correcto en el sentido de que es cierto, pero no se alcanza, por lo que en última instancia es incorrecto. Como has dicho, la región $|Z+4| \leq 3$ es un disco de radio $3$ y el centro $(-4, 0)$ . Encontrar el máximo de $|Z+1|$ se pregunta "a qué distancia está el punto más alejado del disco mencionado del punto $(-1, 0)$ '. Si haces un dibujo podrás ver que el punto que alcanza el máximo es $(-7, 0)$ haciendo el límite superior deseado \begin{equation} |Z+1| \leq 6 \end{equation}

Answer 2

Como se observa en el gráfico, el máximo $|z+1|$ está en $z=-7$ es decir

$$|z+1| \le |-7+1| = 6$$

que también puede demostrarse analíticamente como sigue,

$$|z+1|=|z+4+(-3)| \le |z+4| + |-3| \le 3 +3 = 6$$