¿Por qué utilizamos símbolos de población ( $\sigma^2$ , $\mu$ ...) en lugar de los símbolos de muestra ( $s^2$ , $\bar{x}$ ...) para las variables aleatorias?

Question

En mi curso de Estadística (no puedo preguntar al profesor, es un curso online), llegamos a las variables aleatorias y la notación ha pasado de usar $s^2$ , $\bar{x}$ etc... a utilizar lo que inicialmente se nos enseñó son los símbolos utilizados para describir la población en contraposición a la muestra; a saber $\sigma$ , $\mu$ ...etc...

¿Por qué utilizamos símbolos de población cuando hablamos de variables aleatorias? ¿No utilizamos las variables aleatorias para la predicción o la inferencia? Y si lo hacemos, ¿no son muestras?

Me pareció entender que la población es todo el conjunto de datos que nos interesa y que la inferencia se hace con una muestra de esa población, porque si ya tuviéramos todo el conjunto de datos que nos interesa no habría que hacer ninguna inferencia ya que tenemos toda la información que necesitamos.

Me parece que si queremos hablar de la probabilidad de que algo ocurra, nos interesa el comportamiento de elementos que no tenemos actualmente en nuestro conjunto de datos; eso debería implicar que lo que tenemos actualmente no es la población, sino una muestra.

En este caso, por qué no utilizar símbolos de población y por ejemplo $\frac{1}{n-1}$ en lugar de $\frac{1}{n}$ ?

EDITAR : Por ejemplo, al hablar de la varianza de una variable aleatoria, la fórmula que se nos da es: $$\sigma^2 = Var(X) = E[X^2] - (\mu_x)^2 $$

Answer 1

Se puede pensar en un conjunto de valores que puede tomar una variable aleatoria (llamado espacio muestral) como una población. Por ejemplo, si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ es una variable aleatoria normal con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ entonces la población subyacente (espacio muestral) es el conjunto de todos los números reales $\mathbb{R}$ . Distribución $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ es esencialmente una ley de muestreo: describe cómo se obtiene la muestra de la población. Si $x_1,\ldots,x_n$ es un ejemplo de formulario $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ entonces la media de la muestra $\bar{x}$ es una aproximación a la media "teórica" $\mu$ .

¿No utilizamos variables aleatorias para la predicción o la inferencia?

Sí, utilizamos la variable aleatoria para la predicción y la inferencia, pero esta afirmación es demasiado general. Más concretamente, en el contexto de la inferencia estadística, utilizamos la variable aleatoria para modelar la variabilidad observada en los datos.