¿por qué el límite del bucle es cero?

Question

En el complejo de símiles, se sabe que el límite de la frontera es cero

$$\partial_{n-1} \partial_{n} \sigma_{0,\ldots,n} = 0$$ donde $\sigma_{0,\ldots,n}$ es un n-simple consiste en $n+1$ punto, que por definición, es un casco convexo de esos puntos.

Alguien mostró eso en el youtube video sobre $$\sigma_1 + \sigma_1 = 0$$

¿Pero por qué? No puedo verlo ni siquiera en la intuición.

Answer 1

En ese vídeo se trabaja con cadenas con coeficientes en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Así que, $\sigma_1+\sigma_1=2\sigma_1$ es $0$ ya que los coeficientes en las simplices individuales se consideran enteros mod $2$ y así $2$ es lo mismo que $0$ .

En cambio, es posible considerar cadenas con coeficientes en $\mathbb{Z}$ y luego $\sigma_1+\sigma_1$ no sería $0$ . Sin embargo, si se hace eso, hay que modificar la definición de los operadores de frontera para incluir algunos signos menos y así el límite de un bucle basado en $\sigma_1$ resultaría ser $\sigma_1-\sigma_1$ en lugar de $\sigma_1+\sigma_1$ (uno de los extremos se cuenta con un signo menos).