Variación del pequeño teorema de Fermat de la forma $a^{p-1} \equiv 1 \mod p^2$ .

Question

Si un número natural $a$ coprima de un primo $p$ satisface $$a^{p-1} \equiv 1 \mod p^2$$ entonces, ¿qué podemos decir sobre $a$ y $p$ ?

Answer 1

Hay raíces primitivas módulo $p^2$ Así pues, dejemos que $r$ sea una raíz de este tipo, y que $a\equiv r^k$ . Entonces

$$r^{k(p-1)}\equiv 1 \mod p^2$$

Lo que equivale a $k(p-1)$ siendo divisible por $p(p-1)$ (el orden de $r$ ), que a su vez equivale a $k$ siendo un múltiplo de $p$ . Así, $a$ es congruente módulo $p^2$ a uno de los números $1, r^p, r^{2p}, r^{3p} ...$