Evaluar $\int_0^1 x^n\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor^{-1}dx$

Question

Me gustaría que me ayudaran a calcular: $$\int_0^1 x^n\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor^{-1}dx$$ donde $⌊\cdot⌋$ es la función suelo. ¿Alguna sugerencia?

Gracias.

Answer 1

Es decir $$ \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{\lfloor x\rfloor x^{n+2}} = \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m}\int_{m}^{m+1}\frac{dx}{x^{n+2}} = \frac{1}{n+1}\sum_{m\geq 1}\frac{1}{m}\left(\frac{1}{m^{n+1}}-\frac{1}{(m+1)^{n+1}}\right) $$ y mediante la suma por partes esto se reduce a calcular $$ \sum_{m\geq 1}\frac{H_m}{m^{n+1}} $$ que se puede hacer a través de Sumas de Euler . Ver esta pregunta relacionada .
Las primeras instancias son $$ \sum_{m\geq 1}\frac{H_m}{m^2}=2\,\zeta(3), \qquad \sum_{m\geq 1}\frac{H_m}{m^3}=\frac{\pi^4}{72},\qquad \sum_{m\geq 1}\frac{H_m}{m^4}=3\,\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3).$$ Como alternativa $$ \sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^{n+2}(m+1)}=\int_{0}^{1}\text{Li}_{n+2}(z)\,dz = (-1)^{n+1}\left[1-\zeta(2)+\zeta(3)-\zeta(4)+\ldots\pm \zeta(n+2)\right]. $$

Answer 2

PISTA: Es $$ \int_{1/2}^{1}x^n\,dx+2\int_{1/3}^{1/2}x^n\,dx+3\int_{1/4}^{1/3}x^n\,dx+\ldots $$ Es igual a $$ \sum_{k=1}^{\infty}k\frac{1}{n+1}((1/k)^{n+1}-(1/(k+1))^{n+1}) $$

Answer 3

\begin{align}\int_0^1 \frac{x^n}{⌊\frac{1}{x}⌋}\ \mathrm{d}x = &\;\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{x^n}{1}\ \mathrm{d}x+ \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{2}\ \mathrm{d}x + \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{3}} \frac{x^n}{3}\ \mathrm{d}x\ +\cdots\\ \end{align}

Answer 4

Sugerencia: Dividir el intervalo en regiones en función del valor de $\left\lfloor\frac{1}{x} \right\rfloor$ .