Probando $\mathbb{C}[x,y]/(x+2y^2)$ es isomorfo a un subring de $\mathbb{C}[s,t,u]/(st + u^2)$

Question

Como hace tiempo que hice mi curso de álgebra abstracta básica, como estoy jugando con ejemplos caseros intentando repasar cosas y asegurándome de que sigo entendiendo lo más fundamental, quería saber si lo siguiente es legítimo.

Considere los dos anillos $R_1 = \mathbb{C}[x,y]/(x+2y^2)$ y $R_2 = \mathbb{C}[s,t,u]/(st + u^2)$ . Afirmo que $R_1$ es isomorfo a un subring de $R_2$ mediante el morfismo inyectivo $f : R_1 \rightarrow R_2$ definido por $$x \mapsto st , \qquad y \mapsto \frac{1}{\sqrt{2}} u .$$ Entonces, está claro que $f(x)+2(f(y))^2 = 0$ .

¿Es esta una prueba y un curso de acción legítimos, o hay algún error tonto que estoy cometiendo?

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Es esta una prueba legítima y un curso de acción

Sí, es legítimo, pero yo lo diría así: Es una propiedad de las álgebras polinómicas que le otorga un homomorfismo $f:\mathbb C[x,y]\to R_2$ dadas las elecciones que hiciste.

El primer teorema del homomorfismo dice que $\mathbb C[x,y]/\ker(f)\cong \mathrm{Im}(f)\subseteq R_2$ .

Lo único que le queda por decidir es si $\ker(f)=(x+2y^2)$ . Ciertamente, con su elección, ya ha garantizado que $(x+2y^2)\subseteq \ker(f)$ pero para probar la contención inversa sería necesario un éxito total.