Calcular coordenadas en una línea (o semirrecta)

Question

Si tengo una semirrecta que empieza en el origen y tiene una pendiente de 0,5, ¿cómo puedo calcular las coordenadas de un punto de longitud 3 alejado del origen (que está en la semirrecta)?

Esto no es una tarea; lo aprendí hace mucho tiempo, pero ahora ya no, y me encuentro avergonzado por preguntar algo tan simple.

Answer 1

Se tiene un triángulo rectángulo como el siguiente:

$\hskip2in$

La pendiente de la hipotenusa es $$m=\frac{y-0}{x-0}=\frac{y}{x}.$$

Usted sabe que $m$ es igual a $\frac{1}{2}$ Así que $x=2y$ . El teorema de Pitágoras dice que $$x^2+y^2=3^2=9.$$ Así, $$(2y)^2+y^2=5y^2=9$$ y por lo tanto $$y=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\qquad\text{ and }\qquad x=2y=\frac{6}{\sqrt{5}}.$$

Answer 2

Sean las coordenadas del punto del primer cuadrante (nótese que hay dos puntos a 3 unidades de distancia, el otro en el tercer cuadrante) $(x,y)$ .

Como la pendiente del rayo es $1\over2$ y como la pendiente es "subir/bajar": $$ \tag{1}{1\over2}={y\over x}. $$ Por el Teorema de Pitágoras $$ \tag{2}x^2+y^2=9. $$

Tenemos que resolver el sistema de ecuaciones (1) y (2).

Resolviendo (1) para $y$ da $$ \tag{3}y={x\over 2}. $$ Sustitución de $y$ en (2) con ${x\over 2}$ da $$ x^2+\bigl({\textstyle{x\over2}}\bigr)^2=9; $$ o $$ {5x^2\over 4}=9. $$ Resolviendo lo anterior para el positivo $x$ da $x^2={9\cdot4 \over 5}$ de ahí que $x=6/\sqrt5$ . Y luego de (3), $y=3/\sqrt5$ (el punto del tercer cuadrante es $x=-6/\sqrt5$ , $y=-3/\sqrt5$ ).

Answer 3

Encuentra cualquier punto distinto de cero en la semirrecta. En este caso, por ejemplo, $(2,1)$ será suficiente. Entonces el punto que buscas tiene la forma $\lambda(2,1)=(2\lambda,\lambda)$ donde $\lambda$ es positivo (porque se trata de un rayo, no de una línea).

Ahora utiliza la fórmula de la distancia (también conocida como el Teorema de Pitágoras) para concluir que $4\lambda^2+\lambda^2=9$ Así que $$\lambda=\frac{3}{\sqrt{5}}.$$