$\lim_{z\to \infty} \ln \frac{z+\sqrt{z^2+p^2}}{-z+\sqrt{z^2+p^2}}$

Question

El límite es el resultado de esta integral: $$\int _{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{z^2+p^2}}$$ Esta es una parte de un problema de física y el resultado debe ser $\ln{p}$ . Realmente intento hacer el límite por diferentes vías y en todas ellas obtengo diferentes resultados: $$\lim_{z\to \infty} \ln(\frac{z+\sqrt{z^2+p^2}}{-z+\sqrt{z^2+p^2}})=\lim_{z\to \infty} \ln(\frac{z+\sqrt{z^2+p^2}}{-z+\sqrt{z^2+p^2}}\times \frac{z-\sqrt{z^2+p^2}}{z-\sqrt{z^2+p^2}})$$

$$=\lim_{z\to \infty} \ln(\frac{(z+\sqrt{z^2+p^2})(z-\sqrt{z^2+p^2})}{(-z+\sqrt{z^2+p^2})(z-\sqrt{z^2+p^2})})=\lim_{z\to \infty} \ln(\frac{-p^2}{(-z+\sqrt{z^2+p^2})(z-\sqrt{z^2+p^2})})$$ $$=\lim_{z\to \infty} \ln(\frac{p^2}{(-z+\sqrt{z^2+p^2})(-z+\sqrt{z^2+p^2})})=\lim_{z\to \infty} \ln(\frac{p^2}{2z^2+p^2-2z\sqrt{z^2+p^2}})$$ Pero $-2z\sqrt{z^2+p^2}=-2z^2$ (porque $z \to \infty$ ), así que: $$==\lim_{z\to \infty} \ln(\frac{p^2}{p^2})=0$$ Por supuesto, cometí un error ya que no obtuve la respuesta correcta $\ln(p)$ . Por favor, si alguien conoce el truco de magia, que me ayude.

Answer 1

Parece que algo está mal. En su logaritmo, su numerador va al infinito y su denominador va a cero, por lo que no va a $\ln p$ va al infinito. De manera similar, en su integral original, su integrando es $\sim 1/z$ para grandes $z$ . Que se integra a $\ln z$ que diverge en el infinito. Así que su integral tampoco converge.

Answer 2

Para empezar, recomendaría notar que el integrando es par. De ahí se deduce que $$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{z^{2} + p^{2}}} = 2\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{z^{2} + p^{2}}} \end{align*}$$

Por otro lado, según la sustitución $z = p\sinh(w)$ , obtenemos que $$\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{z^{2} + p^{2}}} = \int_{0}^{\infty}\frac{p\cosh(w)}{\sqrt{p^{2}\sinh^{2}(w) + p^{2}}}\mathrm{d}w = \int_{0}^{\infty}\mathrm{d}w = +\infty \end{align*}$$

y concluimos que la integral propuesta diverge, como observó @David.

Espero que esto ayude.