Prueba de una desigualdad: $ \sqrt {n} < \frac {1}{ \sqrt {1}} + \frac {1}{ \sqrt {2}} + \cdots + \frac {1}{ \sqrt {n}}$

Question

Posible duplicado:
Prueba $ \sum\limits_ {k=1}^{n}{ \frac {1}{ \sqrt {k}} \ge\sqrt {n}}$ con la inducción

¿Cómo pruebo lo siguiente? $$ \sqrt {n} < \dfrac {1}{ \sqrt {1}} + \dfrac {1}{ \sqrt {2}} + \cdots + \dfrac {1}{ \sqrt {n}},$$ para todos $n \in\mathbb {Z}$ , $n \ge 2$ .

Answer 1

Para cualquier $r \in [1, n]$ Tenemos $$ \frac {1}{ \sqrt {r}} \geqslant \frac {1}{ \sqrt {n}}. $$ con estricta desigualdad para $1 \leqslant r \lt n$ . Añadiendo todos estos $n$ desigualdades, $$ \sum_ {r=1}^{n} \frac {1}{ \sqrt {r}} \gt n \cdot \frac {1}{ \sqrt {n}} = \sqrt {n}. $$

---

Prueba mediante inducción. La OP solicitó una prueba mediante inducción. Asumo que puedes manejar el caso base $n=2$ .

Ahora, supongamos que la desigualdad se mantiene para algunos $n \geqslant 2$ verificaremos la desigualdad para $n+1$ : $$ \begin {align*} \sum_ {r=1}^{n+1} \frac {1}{ \sqrt {r}} &= \sum_ {r=1}^{n} \frac {1}{ \sqrt {r}} + \frac {1}{ \sqrt {n+1}} \\ & \gt \sqrt {n} + \frac {1}{ \sqrt {n+1}} \\ &= \sqrt {n+1} + \frac {1}{ \sqrt {n+1}} - ( \sqrt {n+1} - \sqrt {n}) \\ &= \sqrt {n+1} + \frac {1}{ \sqrt {n+1}} - \frac {1}{ \sqrt {n+1} + \sqrt {n}} \\ & \gt \sqrt {n+1} , \end {align*} $$ que es lo que queremos mostrar.

Fíjense que nuestra segunda desigualdad es un poco demasiado cruda. La respuesta de Robjohn muestra cómo conseguir una mejor unión siendo más cuidadoso.

Answer 2

Podemos hacerlo mejor: $$ \sqrt {n}- \sqrt {n-1}= \frac {1}{ \sqrt {n}+ \sqrt {n-1}}< \frac {1}{2 \sqrt {n-1}} \tag {1} $$ Resumiendo, tenemos $$ \sqrt {n}-1< \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{ \sqrt {1}}+ \frac {1}{ \sqrt {2}}+ \dots + \frac {1}{ \sqrt {n-1}} \right ) \tag {2} $$ Así que, para $n \ge2 $ , $$ \sqrt {n}<1+ \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{ \sqrt {1}}+ \frac {1}{ \sqrt {2}}+ \dots + \frac {1}{ \sqrt {n-1}} \right ) \tag {3} $$ que es mejor para cada $n$ .