$\{\omega \ge \tau\} \in \mathscr{F}_{\tau -}$ para los tiempos de parada

Question

Dejemos que $\tau, \omega$ sean dos tiempos de parada. ¿Cómo demostramos que $\{\omega \ge \tau\} \in \mathscr{F}_{\tau -}$ ?

Este resultado se utiliza en la demostración del lema 11 de : https://almostsuremath.com/2009/12/23/localization/

Utilizo la definición que se da aquí: https://almostsuremath.com/2009/11/23/sigma-algebras-at-a-stopping-time/

Necesito demostrar que $\{\omega \ge \tau\}$ pueden ser generados por conjuntos de la forma $A \cap \{t < \tau\}$ para $t \ge 0$ y $A \in \mathscr{F}_t$ o por conjuntos en $\mathscr{F}_0$ . Creo que tengo que usar los racionales para llegar a las desigualdades para $\omega$ y $\tau$ por separado pero estoy atascado. Agradecería mucho cualquier ayuda.

Eso es, $\mathscr{F}_{\tau -} = \sigma(\{A \cap \{t<\tau\}: t \ge 0, A \in \mathscr{F}_t\} \cup \mathscr{F}_0)$ .

Actualizado: Mi solución. Creo que es más fácil mostrar que $\{\omega < \tau \} \in \mathscr{F}_{\tau -}$ . Tenemos $\{\omega < \tau \} = \cup_{r \in \mathbb{Q}} \{\omega < r < \tau\}=\cup_r \{\{\omega < r\} \cap \{r<\tau\}\}$ . Y $\{ \omega < r \} \in \mathscr{F}_r$ por lo que, por la definición anterior, debemos tener $\{\omega < \tau\} \in \mathscr{F}_{\tau -}$ .

Answer 1

Esto parece ser falso. Si dejamos que $\tau$ sea cualquier tiempo de parada no trivial que tome valores estrictamente positivos, entonces al establecer $t = 0$ daría $$\{\tau \le \omega\} = \{\tau \le \omega\} \cap \{0 < \tau\} \in \mathcal F_0.$$ Dado que cualquier constante es un tiempo de parada, esto implica $\{\tau \le c\} \in \mathcal F_0$ para todos $c \in \mathbb{R}$ es decir $\tau$ es $\mathcal F_0$ medible. Pero está claro que tenemos tiempos de parada tomando valores estrictamente positivos que no son $\mathcal F_0$ medible, por ejemplo, el tiempo de primer golpe de un movimiento browniano.

Utilizando la definición actualizada, tenemos que $$\begin{align*} \{\omega < \tau\} &= \bigcup_{t \in \mathbb{Q}}\left( \{\omega \le t\}\cap\{ t < \tau\}\right) \end{align*}$$ y $\{\omega \le t\} \in \mathcal F_t$ porque $\omega$ es un tiempo de parada.