Se conoce algún resultado sobre la siguiente generalización del teorema de Erdős-Ko-Rado?
Dejemos que $n, k, r, s$ sean enteros positivos. Llamamos a una familia $\mathcal{F}$ de $k$ -subconjuntos de elementos de $\{1,\ldots, n\}$ , un $(r, s)$ -familia de intersección si entre cada $r$ elementos de $\mathcal{F}$ al menos dos tienen un $s$ -intersección de elementos. Cuál es el tamaño máximo de dicha familia?
El caso $s=1$ es la conjetura de Erdős sobre la matemática del hipergrafo de
Paul Erdős (1965). Un problema sobre la independencia $r$ -tuplas. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 8 (1965), 93-95. users.renyi.hu/~p_erdos/1965-01.pdf
Un documento reciente al respecto es
Peter Frankl (2017) Proof of the Erdős matching conjecture in a new range, Israel Journal of Mathematics 222(1), pp 421-430. doi:10.1007/s11856-017-1595-7
La generalización por la que pregunta se estudia en
Christos Pelekis, Israel Rocha (2017), A generalization of Erdős' matching conjecture. arxiv:1710.04633
En la notación de este documento se pregunta por el número máximo de aristas en un $k$ -Un hipergrafo uniforme, tal que su $s$ -el número de coincidencia es estrictamente menor que $r$ . Su resumen dice que identifican una colección de soluciones candidatas, y muestran que contiene el óptimo cuando $n\geqslant 4k\binom{k}{s}r$ .
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