¿Cómo se resuelve la integral $\int_{0}^{2\pi}(\sin(x))^{4/3}\ \mathrm{d}x$ o más generalmente $\int_{0}^{2\pi}(\sin(x))^{(m+n)/m}\ \mathrm{d}x$ ? Las matemáticas estándar de CAD como Maple no proporcionaron respuestas.
Respuesta
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Para $0 \leq t \leq \pi$ y $a>0$ $$\int_0^t \big[\sin(x)\big]^a\,dx=\frac{\sqrt{\pi }\,\, \Gamma \left(\frac{a+1}{2}\right)}{a\,\, \Gamma \left(\frac{a}{2}\right)}- \, _2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1-a}{2};\frac{3}{2};\cos ^2(t)\right)\cos (t)$$ donde aparece la función hipergeométrica gaussiana.
Para otras condiciones, utilice las propiedades de simetría .
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Para $t=\pi$ tenemos $$\int_0^\pi \big[\sin(x)\big]^a\,dx=\frac{ \pi\,\, \Gamma (a+1)}{2^a\,\,\Gamma \left(\frac{a}{2}+1\right)^2}$$ que la mayoría de las veces no dará ningún problema.
Para los grandes $a$ una buena aproximación es
$$\sqrt {\frac {2\pi}a}\,\exp\Bigg[-\frac{1}{4 a}+\frac{1}{24 a^3}-\frac{1}{20 a^5}+O\left(\frac{1}{a^7}\right) \Bigg]$$ que está en un error relativo de menos de $0.1$ para $a>2$ y menos de $0.001$ para $a>4$ .
