Soy ZHICHEN LIU(Will). Hice una conjetura basada en la conjetura de la suma de potencias de Euler. Creo que funciona, pero no sé si alguien hizo esta conjetura antes. Así que espero que alguien pueda darme algunas indicaciones, o darme un contraejemplo a esta conjetura que hice.
La conjetura de Euler: Supongamos que $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , ... , $X_n$ son números enteros, y m es un número entero positivo.
$X_1^m+X_2^m+X_3^m+...+X_n^m=Y^m$ (1)
Si se cumple la ecuación (1), entonces Y no tendrá solución entera si m es mayor que n.
Mi conjetura (Me disculpo si alguien hizo esto antes):
Supongamos que $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , ... , $X_n$ son enteros, además, $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , ... , $X_n$ son pares relativamente primos, y m es un número entero positivo.
$X_1^m+X_2^m+X_3^m+...+X_n^m=Y^m$ (2)
entonces Si la ecuación (2) se mantiene, entonces Y no tendrá solución entera si m es mayor que n.
(Básicamente, creo que la conjetura de la suma de potencias de Euler necesita $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , ... , $X_n$ para ser pares relativamente primos)
Por ejemplo:
$X_1$ , $X_2$ , $X_3$ son números enteros,
Además, $X_1$ y $X_2$ son relativamente primos, $X_1$ y $X_3$ son relativamente primos, $X_2$ y $X_3$ son relativamente primos.
$X_1^3+X_2^3+X_3^3=Y^3$ (3)
entonces si la ecuación (3) se mantiene, entonces Y no tendrá solución entera.
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Parece que estás debilitando la conjetura (es decir, la conjetura original $\implies$ su conjetura). Esto podría estar motivado si tiene razones para creer que la conjetura más fuerte es falsa. Tenga en cuenta que si hay una solución entera a (1), entonces siempre podemos eliminar cualquier factor que todos los $X_i$ números tienen en común. ¿Por qué ir más allá y exigir que todos los pares sean relativamente primos?
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Se sabe que la conjetura de Euler es falsa para $m=4$ y $m=5$ . Uno de esos contraejemplos conocidos también refuta la conjetura de Will.
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Tienes razón, 55^5+3183^5+28969^5+85282^5=85359^5