¿Cómo se resuelve una ecuación con una función suelo? \begin{cases} y=12(x-\lfloor x \rfloor) \\ x=12(y-\lfloor y \rfloor) \end{cases} ¿Tal vez se podría utilizar un método algebraico?
Respuestas
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David
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Escribe $x = m + \alpha, y = n + \beta$ donde $m, n$ son números enteros y $0 \leq \alpha, \beta < 1$ . El sistema es equivalente a las condiciones $x = 12 \beta$ , $y = 12 \alpha$ y el sistema lineal $$\begin{align*} -\alpha + 12\beta &= m, \\ 12 \alpha - \beta &= n. \end{align*} $$ Resolviendo este sistema, encontramos $$\alpha = \frac{1}{143}(m + 12n) ,\quad \beta = \frac{1}{143}(12m + n).$$ Por lo tanto, las soluciones del sistema original son todos los pares $(x,y)$ con $$x = \frac{12}{143}(m + 12n) ,\quad y = \frac{12}{143}(12m + n),$$ donde $m, n$ son números enteros que satisfacen $0 \leq 12m + n, m + 12n < 143$ . Además, del problema original se desprende que debemos tener $0 \leq m, n \leq 11$ y que todos los $m, n$ que satisfacen estas desigualdades dan soluciones, excepto $m = n = 11$ . Desde $m + 12n$ recorre todos los números $0, 1, 2, \dots , 142$ , encontramos en conclusión que las soluciones son todas pares $(x,y)$ con $$x = 12p/143, \text{ for $ p = 0, 1, 2, \dots , 142 $ }; \quad y = 12(x - \lfloor x \rfloor).$$
marty cohen
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Dejemos que $x = n+a$ , $y=m+b$ donde $0 \le a, b < 1$ .
Entonces $m+b =12a $ , así que $0 \le m+b < 12$ .
Asimismo, $n+a = 12b $ así que $0 \le n+a < 12$ .
De esta forma, se obtiene un número de casos posibles, que pueden ser fácilmente comprobados.
Posiblemente se pueda obtener más de $n+a = 12 b = 12 (12a-m) =144a-12m $ o $n+12m =143a $ .
