Suma de dos variables aleatorias uniformes independientes no idénticas

Question

Dejemos que $X\text{~Uniform} [0,1]$ y $Y\text{~Uniform}[0,2]$ . Encuentra la distribución de su suma, $Z = X + Y$ utilizando el método de convolución.

Entiendo que tengo que dividir esto en casos para $Z=[0,1],[1,2],[2,3]$ pero tengo dificultades para determinar los límites de cada integración.

Answer 1

Hay que tener en cuenta: el soporte de la variable integrada $X$ el soporte de la variable convolutiva $Z-X$ y el soporte de la variable aleatoria sumada $Z$

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Utilice las funciones indicadoras para determinar los intervalos de soporte de integración de $x$ con respecto a $z\;$ . $$\begin{align} f_X(x) & = {\bf 1}_{0\leq x \leq 1} \\[2ex] f_Y(y) & = \tfrac 1 2 \;{\bf 1}_{0\leq y\leq 2} \\[2ex] f_{X+Y}(z) & = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(z-x) \operatorname d x \; {\bf 1}_{0\leq z\leq 3} \\[1ex] & = \int_{-\infty}^{\infty}\tfrac 1 2\; {\bf 1}_{0\leq x \leq 1}\;{\bf 1}_{0\leq z-x \leq 2}\;{\bf 1}_{0\leq z \leq 3}\; \operatorname d x \\[1ex] & = \tfrac 1 2\;\int_{-\infty}^{\infty} {\bf 1}_{0\leq x \leq 1}\;{\bf 1}_{z-2\leq x \leq z}\;{\bf 1}_{0\leq z \leq 3}\; \operatorname d x \\[1ex] & = \tfrac 1 2\;\int_{-\infty}^{\infty} {\bf 1}_{\max(0,z-2)\leq x \leq \min(1,z)}\;{\bf 1}_{0\leq z \leq 3}\; \operatorname d x \\[1ex] & = \tfrac 1 2\;\int_{-\infty}^{\infty} {\bf 1}_{0\leq x \leq z}\;{\bf 1}_{0\leq z \leq 1} + {\bf 1}_{0\leq x \leq 1}\;{\bf 1}_{1 < z \leq 2} + {\bf 1}_{z-2\leq x \leq 1}\;{\bf 1}_{2 < z \leq 3}\; \operatorname d x \\[1ex] & = \tfrac 1 2\;\left(\int_{0}^{z} {\bf 1}_{0\leq z \leq 1}\operatorname d x + \int_0^1\;{\bf 1}_{1 < z \leq 2}\operatorname d x + \int_{z-2}^1\;{\bf 1}_{2 < z \leq 3}\; \operatorname d x\right) \end{align}$$

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Una forma más compacta de llegar a esto es considerar que hay que integrar sobre los soportes: $x\in [0;1] , (z-x)\in [0;2], z\in [0;3]$

Que es: $x\in [0;1], x\in [z-2;z], z\in[0;3] \\[2ex] \langle x,z\rangle \in [\min(0, z-2); \max(1, z)]\times[0;3] \\[2ex] \langle x,z\rangle \in [\min(0, z-2); \max(1, z)]\times[0;1]\;\cup\;[\min(0, z-2); \max(1, z)]\times(1;2]\;\cup\;[\min(0, z-2); \max(1, z)]\times(2;3] \\[2ex] \langle x,z\rangle \in [0; z]\times[0;1]\;\cup\;[0; 1]\times(1;2]\;\cup\;[z-2; 1]\times(2;3] \\$

Esto da los rangos de integración de $x$ para los valores de $z$ dentro de cada uno de los tres intervalos.

Answer 2

Intenta visualizar tus límites aquí.

Estamos ante una variable aleatoria $Z$ que es la suma de $X+Y$ .

Queremos conocer la distribución. Que es $ F_Z(z) =Pr(Z<z) =Pr(X+Y<z) $

Ahora bien, tened en cuenta que gracias a la independencia podemos decir: $ Pr(X<x) = \int_0^2 Pr (X <x) f_Y(y) dy $

Además podemos decir: $ F_Z(z) = Pr(X+Y<z)=\int_0^2 Pr(X<z-y) f_Y(y) dy =\int_0^2 \int_0^{z-y} f_X(x) f_Y(y)dx dy $