Cálculo 2: Área en coordenadas polares

Question

El gráfico de $r = 10\cos(3\theta)$ tiene tres pétalos (también llamados "hojas" o "lóbulos").

La intersección de uno de esos pétalos con el círculo $r = 5$ está sombreada en la figura.

Esa región sombreada tiene un área (en blanco) de unidades cuadradas.

Después de intentar este problema, encontré que el área

$A_1$ (pétalo)- $A_2$ (círculo de intersección) $ = \displaystyle\int_0^\frac\pi 6 10\cos^2(3\theta)\,d\theta-\int_0^\frac\pi 9 (10\cos^2(3\theta)-5^2)\,d\theta$ .

Sin embargo, el sitio web que estoy utilizando me dice que mi respuesta es incorrecta.

¿Puede alguien decirme en qué me he equivocado con este problema y cuál es la respuesta correcta?

Un gran agradecimiento de antemano a todos los que estén dispuestos a ayudar.

Answer 1

Cuando $x\in [\frac {\pi}{9},\frac {\pi}{6}]$ la curva de la "rosa" está completamente dentro del círculo, y la ecuación del círculo es en última instancia irrelevante para calcular el área de la región roja.

La región sombreada para el primer medio pétalo es:

$\int_0^{\frac {\pi}{9}} \frac 12\cdot 5^2 + \int_{\frac {\pi}{9}}^{\frac {\pi}{6}} \frac 12 (10\cos 3\theta)^2 \ d\theta$

Y recuerda que cuando encuentres $r^2(\theta)$ también hay que elevar al cuadrado los coeficientes.

Answer 2

Creo que tu respuesta es correcta, salvo que el $10$ debe elevarse al cuadrado junto con los cosenos en ambas integrales.