Geometría algebraica frente a geometría compleja

Question

Esta pregunta está motivada por lo siguiente un .

Me gustaría conocer los resultados relativos a las variedades proyectivas complejas que

1. tienen una prueba analítica compleja pero ninguna prueba algebraica conocida; o
2. tienen una prueba algebraica pero no se conoce ninguna prueba analítica compleja.

Por ejemplo, no creo que exista un equivalente del argumento de doblar y romper de Mori que evite la reducción a la característica positiva. Así que la existencia de curvas racionales en variedades de Fano sería un ejemplo de 2.

Answer 1

1) No sé si esto califica, pero me parece que no hay ninguna prueba no analítica de la afirmación de que una superficie de tipo general con $c_1^2=3c_2$ es un cociente de una bola compleja unitaria de dos dimensiones. Este es un teorema de Yau.

2) Existe una noción de estabilidad K de las variedades complejas proyectivas (polarizadas) (es una noción algebraica). Esta estabilidad K es válida para las variedades que admiten una métrica de Kähler de curvatura escalar constante (cscK) en la polarización elegida (Donaldson). Normalmente es difícil demostrar que una variedad polarizada es estable en K a menos que se sepa que tiene una métrica cscK.

Answer 2

Kevin, ¿conoces el argumento de Ran/Kawamata para este teorema? (un par de artículos de 1992 en el Journal of Algebraic Geometry) La versión de Kawamata no sólo es algebraica sino que es sorprendentemente bonita. El único problema es que los profesores que me hablaron de ella no pudieron explicar realmente por qué el hecho de tener deformaciones formales sin obstáculos (el lado algebraico) significa también que la obstrucción analítica desaparece/el espacio de Kuranishi es suave.

Answer 3

Estoy bastante seguro de que no existe una demostración analítica compleja del siguiente teorema (¡pero me encantaría que se demostrara que estoy equivocado!). Esto no es estrictamente una respuesta a la pregunta, porque la prueba disponible tampoco es exactamente algebraica, sino que utiliza $p$ -Métodos analíticos.

Teorema. (Batyrev) Deja que $X$ y $Y$ sean variedades biracionales de Calabi-Yau (es decir, lisas proyectivas sobre $\mathbb C$ con $\Omega^n \cong \mathcal O$ ). Entonces $H^i(X,\mathbb C) \cong H^i(Y,\mathbb C)$ .

Los mismos métodos se refinaron posteriormente para demostrar el siguiente teorema:

Teorema. (Ito) Deja que $X$ y $Y$ sean modelos mínimos lisos biracionales (es decir, lisos proyectivos sobre $\mathbb C$ con $\Omega^n$ nef). Entonces $h^{p,q}(X) = h^{p,q}(Y)$ para todos $p,q$ .

De nuevo, la prueba pasa por $p$ -métodos analíticos, esta vez combinados con $p$ -Teoría de Hodge adica (que creo que cuenta como un método algebraico).

Referencias.

V. V. Batyrev, Biracional Calabi-Yau $n$ -Los pliegues tienen números de Betti iguales . arXiv:alg-geom/9710020

T. Ito, Los modelos mínimos lisos birracionales tienen números de Hodge iguales en todas las dimensiones . arXiv:math/0209269

Answer 4

La siguiente afirmación sobre los haces de vectores holomorfos está en el mismo espíritu que la respuesta de Dimitri. El producto tensorial de dos haces de vectores polis estables en pendiente es también estable en pendiente. Suponiendo la correspondencia Hitchin-Kobayashi, esto es fácil. La estabilidad de la pendiente equivale a la existencia de una conexión Hermitian-Yang-Mills, mientras que el producto tensorial de dos conexiones HYM se ve fácilmente que vuelve a ser HYM. Por otro lado, una prueba puramente algebraica de este hecho no es tan sencilla. (Dicho esto, tampoco lo es la demostración del teorema de Hitchin-Kobayashi).

Answer 5

Que yo sepa, no existe ninguna prueba sin características del teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider: Sea $\pi \colon \widetilde{X} \to X$ una desingularización de $X$ , $\mathcal{F}$ una gavilla amplia localmente libre en $X$ tal que $\pi^{\ast}(\mathcal{F})$ también es localmente libre, entonces $R^p\pi_*(\pi^{\ast}(\mathcal{F}) \otimes \omega_{\widetilde{X}}) = 0$ para todos $p \geq 1$ , donde $\omega_{\widetilde{X}}$ denota la gavilla canónica en $\widetilde{X}$ .