Geometría algebraica frente a geometría compleja

Question

Esta pregunta está motivada por lo siguiente un .

Me gustaría conocer los resultados relativos a las variedades proyectivas complejas que

1. tienen una prueba analítica compleja pero ninguna prueba algebraica conocida; o
2. tienen una prueba algebraica pero no se conoce ninguna prueba analítica compleja.

Por ejemplo, no creo que exista un equivalente del argumento de doblar y romper de Mori que evite la reducción a la característica positiva. Así que la existencia de curvas racionales en variedades de Fano sería un ejemplo de 2.

Answer 1

Aquí hay uno sobre el que tengo curiosidad: Supongamos que X es una variedad propia sobre $\mathbb{C}$ . Entonces sólo hay cubiertas finitamente etale de X en cada grado.

Esto se demuestra en SGA 1 por comparación con el grupo fundamental clásico, pero ¿existe una prueba puramente algebraica?

Answer 2

En cuanto a tu ejemplo, definitivamente no hay ninguna prueba analítica de la existencia de curvas racionales en las variedades de Fano. Este es uno de los sueños de los geómetras complejos... También se puede considerar esta afirmación más débil: dada una variedad de Fano $X$ ¿se puede construir una curva entera (es decir, una imagen holomorfa no constante del plano complejo) en él por métodos analíticos? Incluso esto no se sabe...

Por otra parte, no se conoce ninguna prueba algebraica de la invariancia de los plurigéneros para las variedades que no son de tipo general (la prueba analítica se debe a Siu, posteriormente refinada por Paun, y la prueba algebraica para las variedades de tipo general se debe a Kawamata).

Answer 3

Si $X$ es una curva propia de género $g$ sobre un campo algebraicamente cerrado $K$ de la característica $0$ y $U$ un subconjunto abierto, digamos que se obtiene eliminando $n$ puntos cerrados de $X$ entonces por comparación con la topología compleja (más precisamente por el Teorema de Existencia de Riemann) se puede derivar que $\pi_1^{\text{ét}}(U)$ es isomorfo a la terminación profinita del grupo $$\langle a_1,\ldots,a_g, b_1,\ldots,b_g,c_1,\ldots,c_n \mid[a_1,b_1]\cdot\ldots\cdot[a_g,b_g]c_1\ldots c_n\rangle.$$ Que yo sepa, no hay ninguna prueba algebraica para este hecho.

Answer 4

Me he preguntado si lo siguiente es un ejemplo de 1, pero no soy lo suficientemente experto en álgebra para saberlo.

El conjunto de puntos lisos de una variedad proyectiva compleja irreducible es conexo en la topología clásica.

El argumento que conozco es el siguiente: Supongamos que fuera desconectado, una unión disjunta de $A$ y $B$ digamos. Son conjuntos localmente analíticos. Entonces, por un teorema de Remmert y Stein, sus cierres $\overline{A}$ y $\overline{B}$ son conjuntos analíticos. Entonces, por la parte de Chow del principio GAGA, $\overline{A}$ y $\overline{B}$ son variedades, y la variedad original no es irreducible.

Siempre me he preguntado si se puede evitar el teorema de Remmert-Stein en el medio (sin usar el teorema de Hironaka).

Answer 5

El teorema de Bogomolov-Tian-Todorov afirma que las deformaciones de las variedades de Calabi-Yau (variedades compactas de Kaehler con haz canónico trivial) no tienen obstáculos. Este documento reciente de Iacono y Manetti da una prueba algebraica del teorema para campos algebraicamente cerrados de característica 0. Hasta donde yo sé, éste es el único resultado algebraico en esta dirección.