Unión de todos los hiperplanos del espacio proyectivo

Question

Recientemente he leído el artículo "Compactification of a Drinfeld Period Domain over a Finite Field" de Pink y Schieder. ( enlace al documento )

Estoy confundido con dos afirmaciones que aparecen en este documento:

(1) eliminar todas las $\mathbb{F}_q$ -subespacios lineales racionales de $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{r-1}$ (línea 1~3 de la p.202);

(2) $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{r-1}\setminus\{ \text{union of all} \ \mathbb{F}_q\text{-rational hyperplanes} \}$ (el primer párrafo del Teorema 1.10, p.205).

Sobre la primera afirmación, no puedo entender que un $\mathbb{F}_q$ -es un subespacio lineal racional. Dado que $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{r-1}$ no es un espacio vectorial, no puede tener "subespacio lineal", ¿verdad? Entonces, ¿cuál es la definición de un $\mathbb{F}_q$ -¿un subespacio lineal racional?

En cuanto a la segunda, creo que $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{r-1}\setminus\{ \text{union of all} \ \mathbb{F}_q\text{-rational hyperplanes} \}=\varnothing$ . La definición de un $\mathbb{F}_q$ -hiperplano racional en $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{r-1}$ será el lugar cero de un polinomio homogéneo no constante $f\in \mathbb{F}_q[X_1,\cdots,X_r]$ . Sin embargo, cada punto de $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{r-1}$ debe estar en algún $\mathbb{F}_q$ -hiperplano racional. Por ejemplo, dejemos que $[a_1:\cdots :a_r]\in \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{r-1}$ . Si hay salidas $i\in \{ 1,2,\cdots,r \}$ tal que $a_i=0$ entonces $[a_1:\cdots :a_r]\in \{ X_i=0 \}$ ; de lo contrario, $[a_1:\cdots :a_r]\in \{ a_2X_1-a_1X_2=0 \}$ .

Parece que he entendido algo mal, pero no consigo entenderlo.

Answer 1

1. Una adecuada $\Bbb F_p$ -es un subespacio lineal cerrado de la forma $\Bbb P^a_{\Bbb F_p}\subset \Bbb P^n_{\Bbb F_p}$ con $a<n$ recortada por ecuaciones lineales con coeficientes en $\Bbb F_p$ . Corresponden exactamente a subespacios lineales propios no nulos de $\Bbb F_p^{n+1}$ y es común referirse a tales subesquemas como lineales, como a veces nos referimos a las copias de $\Bbb P^1$ como "líneas".

2. Hay que recordar que un $\Bbb F_p$ -es recortado por un único polinomio lineal con coeficientes en $\Bbb F_p$ lo que implica inmediatamente que todo punto cerrado en dicho hiperplano puede representarse como $[a_0:\cdots:a_n]$ con todos $a_i\in\Bbb F_p$ . Por otro lado, no todos los puntos de $\Bbb P^n_{\Bbb F_p}$ son de la forma $[a_0:\cdots:a_n]$ para $a_i\in \Bbb F_p$ . Ningún punto no cerrado tiene esta forma, y todo punto no $\Bbb F_p$ -El punto racional también falla en esta forma. Por ejemplo, consideremos $\Bbb P^1_{\Bbb F_3}$ y que $i$ sea una raíz de $x^2+1=0$ en $\Bbb F_3$ . Entonces $(x^2+y^2)\subset \Bbb F_3[x,y]$ define el punto $[\pm i:1]$ que no está contenida en ningún $\Bbb F_p$ -(si lo fuera, entonces el conjunto $\{1,\pm i\}$ sería linealmente dependiente sobre $\Bbb F_3$ , contradiciendo el hecho de que $\Bbb F_3 \subset \Bbb F_3[i]$ es una extensión de campo de grado dos con $1,i$ como base para $\Bbb F_3[i]$ como $\Bbb F_3$ -espacio vectorial).