Si $\widetilde{L} =$ campo de división de todos los polinomios irreducibles sobre $L$ de grado de primera potencia, es $\widetilde{\Bbb{Q}} = \overline{\Bbb{Q}}$ ?

Question

Para un campo $L$ , dejemos que $\widetilde L$ sea el campo de división de todos los polinomios irreducibles sobre $L$ teniendo grado de potencia .

Pregunta : ¿Tenemos $\widetilde{\mathbf Q}=\overline{\mathbf Q}$ ?

Yo apuesto por el "no", porque no veo ninguna razón obvia para que sea cierto. Si la respuesta es efectivamente negativa, ¿se puede decir qué grado se da como el grado más pequeño de una $f\in \mathbf Q[X]$ que hace no dividir en $M$ ?

En cualquier caso, parece bastante difícil.

Una variación : Tenemos una cadena $$L \subset \widetilde L \subset \widetilde {\widetilde L} \subset \dots$$ Sea $\widehat L$ ser el límite de esta cadena. ¿Es cierto que $\widehat{\mathbf Q}=\overline{\mathbf Q}$ ? ¿Se estabiliza la cadena? El campo $\widehat{\mathbf Q}$ tiene la extraña propiedad de no tener extensiones finitas de grado primo-potencia. En consecuencia, el grupo de Galois $\text{Gal }(\overline{\mathbf Q}/\widehat{\mathbf Q})$ tiene la extraña propiedad de no tener subgrupos abiertos de índice de primera potencia...

Para $L$ un campo finito, es fácil ver que $\widetilde{L}=\overline{L}$ . Obviamente tenemos $\widetilde{\mathbf R}=\overline{\mathbf R}$ . No sé si $\widetilde{\mathbf Q_p}=\overline{\mathbf Q_p}$ o si $\widehat{\mathbf Q_p}=\overline{\mathbf Q_p}$ . ( Editar : Toda extensión finita de Galois de $\mathbf Q_p$ es resoluble, y creo que de esto se deduce que $\widehat{\mathbf Q_p}=\overline{\mathbf Q_p}$ .)

Anexo : La cuestión ha sido contestada (positivamente) por David Speyer en MO. (David: si quieres copiar y pegar tu respuesta aquí también, ¡la aceptaré encantado!)

Answer 1

Esto no es una solución.

He aquí lo que espero que sea un replanteamiento correcto del problema. Permítanme introducir las siguientes condiciones en una extensión algebraica $L$ de $\mathbb{Q}$ para los que no tengo nombres imaginativos:

P1: $L$ es el compositum de extensiones de $\mathbb{Q}$ de grado primo potencia.

P2: $L$ encaja en una torre de extensiones P1. Equivalentemente, $L$ es el compositum de torres de extensiones de $\mathbb{Q}$ de grado primo potencia.

Cuando una extensión P1 (resp. P2) es de Galois, su grupo de Galois satisface las siguientes condiciones correspondientes:

P1: $G$ tiene subgrupos $H_1, ..., H_n$ de índice de potencia primo con intersección trivial.

P2: $G$ tiene subgrupos $H_1, ..., H_n$ con intersección trivial cada una de las cuales cabe en una torre $H_k \subseteq H_{k, 1} \subseteq H_{k, 2} \subseteq ... \subseteq H_{k, m} \subseteq G$ de subgrupos cada uno de los cuales es de índice de potencia primo en el siguiente.

La primera pregunta es equivalente a la pregunta de si toda extensión finita de Galois de $\mathbb{Q}$ se produce como subextensión de una extensión P1. La segunda pregunta es equivalente a la pregunta de si toda extensión finita de Galois de $\mathbb{Q}$ se produce como subextensión de una extensión P2. Esto se traduce (imperfectamente) en las siguientes cuestiones de teoría de grupos a través de la correspondencia de Galois:

Pregunta: ¿Es todo grupo finito cociente de un grupo finito P1 (resp. P2)?

(Digo imperfectamente porque también necesitamos que ambos grupos sean compatibles como grupos de Galois de un par de extensiones finitas de Galois de $\mathbb{Q}$ . Si la respuesta a la pregunta anterior es "sí", no sabemos necesariamente que la respuesta a la pregunta original sea "sí", pero si la respuesta a la pregunta anterior es "no", es posible que podamos construir un contraejemplo a la pregunta original condicionado a la resolución de un caso especial del problema de Galois inverso).

En lugar de resolver el problema permítanme explicar mi error. Pensaba que "subextensión de una extensión P1" era equivalente a "una extensión P1", pero el argumento obvio falla: si $L \subseteq \bigcup_i K_i$ (donde por $\bigcup$ Me refiero a compositum en una extensión de Galois fija que contenga $L$ y el $K_i$ ) no se deduce que $L \subseteq \bigcup_i (L \cap K_i)$ un contraejemplo explícito es que

$$\mathbb{Q}(i) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cup \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$$

pero el compositum de intersecciones correspondiente es sólo $\mathbb{Q}$ .

El error correspondiente en el lado de los grupos finitos es quizás aún más insidioso: consiste en suponer incorrectamente que todo cociente de un grupo P1 es P1. Una razón por la que esta suposición resulta atractiva es que todo grupo nilpotente es P1 (ya que un grupo nilpotente finito es el producto directo de sus subgrupos Sylow), ¡y la nilpotencia es una propiedad que se transmite a los cocientes!

Sin embargo, el argumento obvio falla: si $G \to G/N$ es un mapa cociente y $H_i$ son subgrupos de $G$ de índice de potencia primo con intersección trivial, sigue siendo cierto que sus imágenes $H_i N / N$ tienen índice de potencia primo en $G/N$ (esto corresponde a tomar las intersecciones $L \cap K_i$ en el argumento anterior) pero falso que su intersección sea necesariamente trivial (esto corresponde a que el compositum no contiene $L$ en el argumento anterior) porque $N$ puede introducir relaciones adicionales. El ejemplo de Galois correspondiente al ejemplo anterior es tomar

$$G = C_2 \times C_2, H_1 = (0, 1), H_2 = (1, 0), N = (1, 1).$$

Sin embargo, por lo que sé, podría seguir siendo cierto que todo cociente de un grupo P1 (resp. P2) es P1 (resp. P2). Si alguien tiene una prueba de ello, implicaría que mi contraejemplo original (el grupo $G = A_6$ no es ni P1 ni P2 y se presenta como el grupo de Galois de un polinomio irreducible de grado $6$ ) sigue funcionando. Así que..:

Pregunta auxiliar: ¿Es todo cociente de un grupo finito P1 (resp. P2) P1 (resp. P2)?

Nótese que un contraejemplo a la pregunta auxiliar para P1 no es necesariamente nilpotente. También se da el caso de que todo grupo soluble es P2 y que ésta es también una propiedad que pasa a los cocientes, por lo que un contraejemplo a la pregunta auxiliar para P2 es necesariamente no soluble.