¿Es el Infimum plus $\epsilon$ en el conjunto?

Question

Digamos que tengo un conjunto $M = \{ \frac{n+1}{m} \mid n,m \in \mathbb{N} \}$ .

El Infimum aquí es obviamente $s = 0$ desde $\lim_{m\rightarrow \infty} \frac{1}{m} = 0$ . El cero, sin embargo, no está en el subconjunto.

Mi pregunta: ¿Es $0+\epsilon$ en el conjunto $\forall \epsilon > 0$ ? O en términos generales: ¿Es el $\text{Infimum} + \epsilon$ en el conjunto (siempre que no sobrepase el Supremum)

Mi pensamiento inicial es que $0+\epsilon$ está en el conjunto. Pero si elijo Epsilon como $\epsilon := \frac{1}{m+1}$ no lo es. Pero entonces podría encontrar una m' con $m' = m^2$ que satisfacen el hecho de que Epsilon está en el conjunto.

¿Puede alguien mostrarme una prueba válida?

Answer 1

$M$ es un conjunto (contable) de números racionales, por lo que cualquier irracional $\epsilon$ no puede estar en $M$ . De hecho $M = \mathbb{Q}^+$ el conjunto de los racionales positivos. Es evidente que $M \subset \mathbb{Q}^+$ y para cualquier $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}^+$ podemos suponer $a, b > 0$ . Entonces $$\frac{a}{b} = \frac{(2a-1)+1}{2b} \in M$$ por definición, ya que $2a-1 \geq 1$ . Por lo tanto, $\mathbb{Q}^+ \subset M$ por lo que cualquier racional positivo $\epsilon$ está en $M$ .

[Edición: EuxhenH lo ha señalado en los comentarios mientras yo respondía, disculpas].

Answer 2

No, no sabes que $\epsilon$ está en el conjunto. Lo que sabes es:
Por cada $\epsilon > 0$ existe $c$ en el conjunto con $0 < c < \epsilon$ .